Enunciado

um extensômetro é colado horizontalmente, numa superfície cilíndrica de um vaso de pressão de 600   m m de diâmetro externo e 7,50 m m de espessura da parede. Sabendo-se que E = 200   G P a e ϑ = 0,25 e que o extensômetro indica 120 μ , determinar:

  1. As três deformações especificas principais na superfície cilíndrica do vaso;
  2. As tensões principais na parede;
  3. A pressão medida dentro do vaso.

Passo 1

Fala ai galera, agora vamos para uma questão que vamos usar dois conceitos muito legais que aprendemos. Um desses conceitos é o cálculo das tensões principais que sabemos que devemos usar as fórmulas abaixo para o caso de estruturas cilíndricas.

  • Sabemos que a nossa tubulação é cilíndrica e não esférica, nesse caso, usaríamos as seguintes equações:
  • σ 2 = p r 2 t

    σ 1 = p r t

  • Sabemos que o nosso diâmetro dado, é o diâmetro externo, ou seja, precisamos descontar a espessura, sendo assim temos que:
  • r = D 2 - t

  • E sabemos que t é a espessura
  • p é a pressão que age na nossa estrutura

Até aqui tudo certo, certo? Mas pensa o seguinte, ele nos da um dado de deformação, como a deformação se relaciona com a tensão? Muito simples, basta lembrar que a formula da deformação especifica em função da tensão é de:

ε = σ E

Como estamos pensando em um vaso de pressão, sabemos que as tensões que irão aparecer são dadas por:

Como não temos tensões cisalhantes, essas já são as tensões principais. Se dividirmos tudo pelo modulo de elasticidade, teremos que:

Porém, queremos as deformações em cada um dos planos, e por isso temos que lembrar da contribuição que uma tensão em um sentido, produz no outro, sendo assim, as deformações que de fato ocorrem no nosso elemento são dadas por:

ε 1 = σ 1 E - ϑ σ 2 E

ε 2 = σ 2 E - ϑ σ 1 E

ε 3 = - ϑ σ 1 E - ϑ σ 2 E

E assim teremos as deformações principais do nosso elemento, lembrando que nos vasos de pressão consideramos que σ 3 = 0 . Agora que já sabemos isso vamos ao nosso problema.

Passo 2

Sabemos pelo enunciado que:

t = 7 , 5   m m = 0,00 7 5   m

D = 600   m m = 0,600   m

p = p 0

Calculando o raio, temos que:

r = D 2 - t = 0,600 2 - 0,0075   = 0,2925   m

Calculando a tensão, teremos que:

σ 2 = p r 2 t = p 0     .     0,2925   m 2   .     0,0075 m = 19,5 p 0    

σ 1 = p r t = p 0     .     0,2925   m 0,0075 m = 39 p 0    

E assim resolvemos metade do nosso problema.

Passo 3

Vamos agora para as análises das nossas deformações:

ε 1 = σ 1 E - ϑ σ 2 E

ε 1 = 39 p 0     E - 0,25 19,5 p 0     E = 34,125 p 0     E

A deformação na direção 2 é dada por:

ε 2 = σ 2 E - ϑ σ 1 E

ε 2 = 19,5 p 0     E - 0,25 39 p 0     E = 9,75 p 0     E

A deformação na direção 3 é dada por:

ε 3 = - ϑ σ 1 E - ϑ σ 2 E

ε 3 = - 0,25 39 p 0     E - 0,25 19,5 p 0     E = - 14,625 p 0     E

Perceba que o nosso extensômetro está exatamente na direção dois do nosso elemento, ou seja, no nosso enunciado é dito que foi marcado no extensômetro o seguinte:

ε 2 = 120 μ = 120 × 10 - 6 m m

E = 200   G P a = 200 × 10 6   k P a k N m 2

Substituindo temos que:

9,75 p 0     E = 120

9,75 p 0     200 × 10 6 = 120 × 10 - 6

p 0     = 2462   k P a = 2,46   M P a

p 0     = 2,46   M P a

E assim resolvemos o nosso item c). pode parecer estranho resolvermos ele primeiro, mas é exatamente a solução dele que vai permitir que resolvamos os outros. Por exemplo, agora com esse dado, podemos obter as deformações.

ε 1 = 34,125 p 0     E = 34,125 × 2462 200 × 10 6 = 4,2 × 10 - 4 m m = 420   μ

ε 2 = 9,75 × 2462 200 × 10 6 = 1,2 × 10 - 4 m m = 120   μ

ε 3 = - 14,625 × 2462 200 × 10 6 = - 1,8 × 10 - 4 m m = - 180   μ

E assim também temos as deformações principais, que é o nosso item a).

Passo 4

E o item b) é simples, como temos as tensões σ 1 e σ 2 podemos determinar as máximas tensões do nosso elemento, sendo assim, temos que:

σ 2 = 19,5 p 0 = 19,5 × 2462 = 48009   k P a = 48   M P a

σ 1 = 39 p 0 = 39 × 2462 = 96018   k P a = 96   M P a

E assim resolvemos tudo, show? Bora para o próximo passo.

Resposta

  1. ε 1 = 420   μ     ;     ε 2 = 120   μ     ;     ε 3 = - 180   μ
  2. σ 2 = 48   M P a     ;     σ 1 = 96   M P a
  3. p 0     = 2,46   M P a
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