Enunciado

Uma extremidade da corrente empilhada cai através de um furo em seu suporte e puxa os elos restantes atrás de si em um fluxo permanente. Se os elos que estão inicialmente em repouso adquirem a velocidade da corrente subitamente e sem resistência ao atrito ou interferência do suporte ou dos elos adjacentes, encontre a velocidade v da corrente como uma função de x se v = 0 quando x = 0 . Encontre também a aceleração a na queda da corrente e a energia perdida Q do sistema quando o último elo deixa a plataforma. (Sugestão: Aplique a Eq. 4 / 20 e considere o produto x v como a variável durante a solução da equação diferencial. Observe também, no momento oportuno, que d x = v   d t .) O comprimento total da corrente é L , e sua massa por unidade de comprimento é ρ .

Passo 1

Vamos seguir a recomendação do enunciado. Começamos com a seguinte equação:

∑ F x = m v ˙ + m ˙ u

∑ F x é a soma das forças externas que agem sobre a corrente. Nesse caso temos apenas o próprio peso da parte que está caindo, então:

∑ F x = ρ g x

Pela mesma lógica, a massa da parte que está caindo é:

m = ρ x

E podemos derivar isso em relação ao tempo para encontrar:

m ˙ = ρ x ˙ = ρ v

E a velocidade u é simplesmente a velocidade v da corrente:

u = v = x ˙

Então ficamos com a seguinte equação:

ρ g x = ρ x v ˙ + ρ v x ˙

Podemos dividir tudo por ρ e reescrever as derivadas:

g x = x d v d t + v d x d t

E agora multiplicamos tudo por d t :

g x   d t = x   d v + v   d x

E agora tomando a outra sugestão do enunciado, vamos usar o fato de que o lado direito dessa equação pode ser escrito como:

g x   d t = d ( x v )

Passo 2

Beleza, chegamos em uma equação diferencial bem útil, vamos reorganizar um pouco para facilitar a solução:

Multipliacndo tudo por ( x v ) :

g x 2 v   d t = x v   d ( x v )

E mais uma vez usando a sugestão do enunciado, lembramos que v   d t = d x , então:

g x 2   d x = x v   d ( x v )

E fazendo um último truque, vamos escrever o lado direito da equação:

g x 2   d x = 1 2 d x v 2

Beleza, agora podemos integrar dos dois lados:

∫ 0 x g x 2   d x = 1 2 ∫ 0 x v 2 d x v 2

g x 3 3 = 1 2 x v 2

Agora é só isolar a velocidade:

v = 2 3 g x

Passo 3

Para encontrar a aceleração só precisamos derivar essa expressão em relação ao tempo:

a = d v d t

a = v ˙ = d d t 2 3 g x

Aqui é uma boa ideia separar a constante e depois aplicar a regra da cadeia:

a = 2 3 g 1 2 x x ˙

Mas x ˙ é justamente a velocidade v :

a = 2 3 g 2 3 g x 1 2 x = 1 3 g

Passo 4

Por último queremos saber qual foi a perda de energia do sistema quando o último elo deixa a plataforma. A massa total da corrente é:

m = ρ L

Primeiro pensando na energia cinética. Quando x = L a velocidade dos elos é:

v = 2 3 g L

E então a variação de energia cinética (considerando que o sistema começa em repouso) é:

Δ T = 1 2 m v 2 = 1 3 ρ g L 2

Agora pensando na energia potencial gravitacional. Se colocarmos o zero da energia potencial na altura do suporte, inicialmente temos:

V g 0 = 0

E quando o último elo deixa o suporte, o centro de massa está na posição - L 2 em relação ao nosso zero, então:

V g = ρ g L   - L 2

Δ V g = - ρ g L 2 2

E agora é só calcular a perda de energia:

Q = - ( Δ V g + Δ T )

Q = 1 2 ρ g L 2 - 1 3 ρ g L 2

Q = 1 6 ρ g L 2

Resposta

A velocidade é v = 2 3 g L , a aceleração é a = 1 3 g e a perda de energia é Q = 1 6 ρ g L 2 .

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