Enunciado

A corrente de elos de comprimento L e massa ρ por unidade de comprimento é liberada a partir de repouso mostrada, onde o elo mais baixo está quase tocando a plataforma e a seção horizontal é apoiada sobre uma superfície lisa. O atrito na quina da guia é desprezível. Determine (a) a velocidade v 1 da extremidade A quando ela atinge a quina e (b) a sua velocidade v 2 quando ela atinge a plataforma. (c) Especifique também a perda total de energia Q .

Passo 1

Vamos começar procurando uma expressão para a aceleração da corrente. Precisamos aplicar a segunda lei de Newton sobre o sistema.

Começamos olhando para a parte da corrente que está apoiada sobre a superfície lisa:

∑ F x = m a x

Nesse caso a única força agindo é a tensão exercida pela outra parte da corrente:

T = m a x

A massa dessa parte pode ser escrita em função da massa por unidade de comprimento:

T = ρ L - h - x a x

Onde x é a distância percorrida pelo ponto A da corrente em relação à sua posição inicial. Agora vamos olhar para a parte da corrente que está pendurada:

∑ F y = m a y

Nesse caso temos a tração exercida pela parte apoiada puxando para cima, e o peso da própria corrente pendurada puxando para baixo:

P - T = m a y

ρ g h - T = ρ h a y

Como estamos falando da mesma corrente, podemos garantir que:

a y = a x = a

Então ficamos com o seguinte sistema:

T = ρ L - h - x a ρ g h - T = ρ h a

Passo 2

Agora podemos resolver esse sistema para encontrar uma expressão para aceleração. Somando as duas equações:

ρ g h = ρ L - h - x a + ρ h a

g h = L - x a

a = g h ( L - x )

Mas nosso objetivo é encontrar uma expressão para a velocidade, então vamos reescrever a aceleração usando a regra da cadeia:

a = d v d t = d v d x d x d t = v d v d x

a   d x = v   d v  

Substituindo a nossa expressão para a aceleração:

g h ( L - x )   d x = v   d v

Passo 3

(a) Podemos resolver essa equação diferencial separável para encontrar uma expressão para a velocidade.

∫ 0 v v   d v = ∫ 0 x g h ( L - x )   d x

v 2 2 = g h ln ⁡ L L - x

E o que a questão pediu foi a velocidade v 1 no instante em que a extremidade A atinge a quina da guia. Quando isso acontece, o deslocamento da extremidade em relação ao ponto inicial é:

x = L - h

Substituindo na nossa fórmula:

v 1 2 2 = g h ln ⁡ L L - ( L - h )

v 1 2 2 = g h ln ⁡ L h

v 1 = 2 g h ln ⁡ ( L / h )

Passo 4

(b) Quando a extremidade A atinge a plataforma, só precisamos somar a velocidade v 1 que já calculamos com a velocidade que a corrente adquire na queda livre ao longo de uma altura h :

v 2 2 = v 1 2 + 2 g h

v 2 2 = 2 g h ln ⁡ ( L / h ) + 2 g h

v 2 = ( 2 g h ) ( 1 + ln ⁡ ( L / h ) )  

Passo 5

(c) Agora queremos saber qual foi a perda total de energia. Considerando que a corrente começa o movimento parada, e termina parada, podemos considerar que:

Δ T = 0

Onde T é a energia cinética total da corrente. Então toda a perda de energia está associada à perda de energia potencial.

Se definirmos o zero da energia potencial como sendo a altura h = 0 , é fácil ver que a energia potencial final é nula, já que toda a corrente está em h = 0 :

U f = 0

Mas inicialmente, nós tínhamos uma parte de comprimento h da corrente cujo centro de massa estava supenso por uma altura h / 2 :

U 1 = m g y = ρ h ( g ) h 2

E a outra parte é um comprimento L - h em uma altura h :

U 2 = ρ g L - h h

Então a energia inicial era:

U 1 + U 2 = ρ g h L - h + ρ g h   ( h / 2 )

U 1 + U 2 = ρ g h L - h 2

E toda essa energia é perdida, então:

Q = ρ g h L - h 2

Resposta

(a) v 1 = 2 g h ln ⁡ ( L / h )   .

(b) v 2 = ( 2 g h ) ( 1 + ln ⁡ ( L / h ) )     .

(c) Q = ρ g h L - h 2 .

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