Enunciado

A extremidade superior da corrente de elos de comprimento L e massa ρ por unidade de comprimento é liberada a partir do repouso com a extremidade inferior quase tocando a plataforma da balança. Determine a expressão para a força F registrada na balança em função da distância x através da qual a extremidade superior cai. (Comentário: A corrente adquire uma velocidade de queda livre de 2 g x porque os elos sobre a balança não exercem nenhuma força sobre aqueles acima, que ainda estão caindo livremente. Resolva o problema de duas formas: primeiro, pela avaliação da taxa de variação no tempo da quantidade de movimento para toda a corrente e, depois, considerando a força F como sendo composta pelo peso dos elos em repouso sobre a balança acrescido da força necessária para desviar um escoamento equivalente de fluido.)

Passo 1

Vamos seguir a sugestão do enunciado: começamos avaliando a taxa de variação no tempo da quantidade de movimento para toda a corrente.

G = m v

A massa da parte da corrente que está em movimento segue a seguinte expressão:

m = ρ ( L - x )

Já que ( L - x ) dá o comprimento da corrente que ainda não chegou até a balança. E como o próprio enunciado também diz, a velocidade desse trecho da corrente varia em função da posição de acordo com a seguinte expressão:

v = 2 g x

E então a quantidade de movimento linear da corrente é:

G = ρ L - x 2 g x

Passo 2

Agora vamos usar o fato de que a derivada temporal G ˙ é igual à soma das forças externas que agem sobre o sistema:

∑ F = G ˙

Nesse caso as duas forças que agem sobre a corrente são o peso (voltado para baixo) e a força F que a balança exerce para cima (voltada para cima)

∑ F = P - F = ρ g L - F

E agora vamos substiuir na equação de cima, e usar a expressão que encontramos para G :

ρ g L - F = d d t ρ L - x 2 g x

É uma boa ideia reescrever o parênteses da direita:

ρ g L - F = d d t ρ 2 g L x 1 2 - x 3 2  

E agora tirando a derivada:

ρ g L - F = ρ 2 g L 2 x - 3 2 x 1 2   x ˙

Mas x ˙ = v = 2 g x , vamos substituir isso na expressão:

ρ g L - F = ρ 2 g L 2 x - 3 2 x 1 2   2 g x

ρ g L - F = ρ g L - 3 ρ g x

E então:

F = 3 ρ g x

Ótimo, já resolvemos o problema pelo primeiro método.

Passo 3

Agora vamos resolver o problema considerando a força F como uma reação à soma do peso dos elos em repouso sobre a balança e do força necessária para o “escoamento da corrente”.

Nesse caso:

F = R + P

Onde R é a força “de escoamento” e P é o peso da parte da corrente que já está sobre a balança. O peso é:

P = ρ g x

E usando a equação para a força de escoamento:

R = m ' Δ v

m ' = ρ x ˙ = ρ v

Δ v = x ˙ = v

E então:

R = ρ v 2 = ρ 2 g x 2 = 2 ρ g x

Agora é só substituir na expressão de cima:

F = R + P

F = 2 ρ g x + ρ g x

F = 3 ρ g x

E como esperado, o resultado é o mesmo do método anterior.

Resposta

A força registrada na balança é F = 3 ρ g x .

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