Enunciado

A extremidade superior da corrente de elos de comrpimento L e massa ρ por unidade de comprimento é abaixada a uma velocidade constante v pela força P . Determine a leitura R da balança de plataforma em termos de x .

Passo 1

Como a corda é abaixada a uma velocidade constante, é preciso que todas as forças estejam em equilíbrio.

Para que a força P mantenha a velocidade constante (ou seja, não produza uma aceleração para cima), ela precisa equilibrar o peso da porção da corrente que ainda não está apoiada na balança:

P = m g = ρ L - x g

Além da força peso, temos também a força peso F P da corrente (que não muda independente de estar apoiada ou não):

F P = ρ g L

E além disso temos a força R exercida pela balança, que é quem queremos medir.

Passo 2

Todas essas três são forças externas que agem sobre a corrente na direção vertical, então:

∑ F = d d t ( m v )

∑ F = m v ˙ + m ˙ v

E vamos definir que o sentido positivo é vertical para baixo:

∑ F = F P - R - P

∑ F = ρ g L - R - ρ L - x g

∑ F = ρ g x - R

E substituindo na equação de cima:

ρ g x - R = m v ˙ + m ˙ v

Bom, agora vamos analisar esse termo da direita com cuidado. A velocidade da corrente é constante, então:

v ˙ = 0

Mas a massa da porção da corrente que tem uma velocidade v então:

m ˙ v = d d t ρ L - x v

Não esqueça que o ponto em cima da letra é só uma abreviação para o d / d t .

Passo 3

Então nossa equação fica assim:

ρ g x - R = d d t ρ L - x v

ρ x g - R = d d t ρ L v - d d t ρ x v

Como L e ρ são constantes:

ρ g x - R = - ρ x ˙ v

Mas x ˙ é a própria velocidade de descida da corrente, então:

x ˙ = v

ρ g x - R = - ρ v 2

Agora é só isolar a força R medida pela balança:

R = ρ ( g x + v 2 )

Resposta

A leitura da balança é dada por R = ρ ( g x + v 2 ) .

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