Enunciado

Faça uma representação gráfica da distribuição da tensão de cisalhamento na seção transversal de uma haste com raio c. Quantas vezes a tensão de cisalhamento máxima é maior que a tensão de cisalhamento média que age na seção transversal?

Passo 1

Neste primeiro passo, vamos pensar um pouco sobre o cisalhamento. Sabemos que a tensão aumenta junto com o momento estático, então (em uma seção constante) quanto mais próximo do centroide maior a tensão! Mas no caso de uma seção circular, a espessura t aumenta também, e o aumento da espessura diminui a tensão.

Então a pergunta que temos que responder é: “Em que ponto da seção circular atinge-se a tensão máxima?”

Bem, se lembrarmos das aulas de cálculo, sabemos que quando derivamos uma função podemos encontrar seu ponto máximo. Então, vamos desenvolver uma função que represente a tensão sobre a seção circular e depois podemos derivar e igualar a zero para encontrar o ponto máximo

Passo 2

Então vamos começar calculando o momento de inércia, pois este é um valor constante.

I = π c 4 4

E a área da circunferência é

A = π c 2

Passo 3

Agora vamos fazer uma função que represente o momento estático.

Primeiro vamos imaginar uma seção sobre a circunferência, de espessura infinitesimal d y , a uma distância y do centro e de base t .

Podemos usar o teorema de pitágoras para determinar t em função de c e y .

t = 2 ⋅ c 2 - y 2

Passo 4

Com isso, podemos determinar o momento estático como uma soma do momento estático dessas “tiras” infinitesimais, isso é expresso pela integral da equação 7.2 do livro texto.

Q = ∫ A y d A

Vamos determinar a área de uma “tira” como:

d A = b ⋅ d y

d A = 2 ⋅ c 2 - y 2 ⋅ d y

Vamos substituir o valor da área na integral. Para gerar uma função para o momento estático integramos a partir de um ponto qualquer y até atingir o raio c .

Q = ∫ y c y ⋅ 2 ⋅ c 2 - y 2 ⋅ d y

Efetuando a integral:

Q = 2 3 c 2 - y 2 3 / 2 y c

Chegamos na expressão:

Q = 2 3 c 2 - y 2 3 / 2

NOTA: a integral se dá de “ y à c” e não ao contrário. Pois observe que o sentido de crescimento de y é do centro até o tamanho do raio c

Passo 5

Agora aplicamos isso na equação 7.3

τ = V Q I t

τ = V ⋅ 2 3 c 2 - y 2 3 / 2 π 4 c 4 ⋅ 2 c 2 - y 2

Chegamos a uma função que representa a tensão em qualquer ponto da seção circular.

τ = 4 V 3 π c 4 ⋅ ( c 2 - y 2 )

Passo 6

Para encontrar a tensão máxima vamos derivar a equação e igualar a zero:

d τ = 0

4 V 3 π c 4 ⋅ 2 y = 0

Então o ponto onde a tensão é máxima é:

y = 0

Aplicando na equação:

τ m á x = 4 V 3 π c 4 ⋅ ( c 2 - 0 2 )

τ m á x = 4 V 3 π c 2

Passo 7

Para calcular a tensão de cisalhamento média utilizamos a equação geral da tensão:

τ m e d = V A

τ m e d = V π c 2

Passo 8

Concluímos a questão dividindo as tensões uma pela outra

τ m á x τ a d m = 4 V 3 π c 2 V π c 2

τ m á x τ a d m = 4 V 3 π c 2 ⋅ π c 2 V

τ m á x τ a d m = 4 3

Resposta

τ m á x τ a d m = 4 3

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