Enunciado

As fibras de uma peça de madeira formam um ângulo de 15° com a vertical. Para o estado plano de tensões mostrado, determinar:

  1. A tensão de cisalhamento, no plano, paralelo as fibras;
  2. A tensão normal perpendicular as fibras.

Passo 1

Então galerinha, vamos pegar os macetes desse exercício para ficar mais fácil resolver qualquer exercício que encontrarmos sobre isso.

O nosso objetivo é determinar as tensões em um estado que a nossa nova posição seja paralela ao plano de tensões que desejamos saber as tensões, pode parecer meio estranho, mas vamos ver o desenho abaixo pra ficar mais fácil de entender:

Se fizermos a mesma analise para o nosso caso, teremos que:

Perceba que os dois estados finais possíveis tem seções paralelas, e perceba que girar para baixo significa ter um ângulo de giro negativo, e se girar pra cima, significa ter um ângulo de giro positivo, isso era o mais difícil da nossa fórmula, que é a determinação dos ângulos, agora só precisamos lembrar que o elemento básico é dado por:

Como o nosso elemento é dado por:

Com isso teremos que:

σ x = - 4,15   M P a

σ y = - 1,65   M P a

τ x y = - 0,52   M P a

θ = - 15 °   o u   75 °

Passo 2

Agora que já temos todos os dados, precisamos apenas das fórmulas, com as fórmulas, teremos as tensões que precisamos, sendo assim, teremos que:

σ x ' = σ x + σ y 2 + σ x - σ y 2 C O S 2 θ + τ x y S E N 2 θ

σ y ' = σ x + σ y 2 - σ x - σ y 2 C O S 2 θ - τ x y S E N 2 θ

τ x ' y ' = - σ x - σ y 2 S E N 2 θ + τ x y C O S 2 θ

Substituindo os nossos dados a 75°, teremos que:

σ x ' = - 4,15 - 1,65 2 + - 4,15 - - 1,65 2 C O S 2 × 75 + - 0,52 S E N 2 × 75

σ x ' = - 2,08   M P a

σ y ' = - 4,15 - 1,65 2 - - 4,15 - - 1,65 2 C O S 2 × 75 - - 0,52 S E N 2 × 75

σ y ' = - 3,72   M P a

τ x ' y ' = - - 4,15 - - 1,65 2 S E N 2   .     75 + ( - 0,52 )   .   C O S 2   .   75 = 1,08   M P a

Substituindo os nossos dados a -15°, teremos que:

σ x ' = - 4,15 - 1,65 2 + - 4,15 - - 1,65 2 C O S 2 × ( - 15 ) + - 0,52 S E N 2 × ( - 15 )

σ x ' = - 3,72   M P a

σ y ' = - 4,15 - 1,65 2 - - 4,15 - - 1,65 2 C O S 2 × ( - 15 ) - - 0,52 S E N 2 × ( - 15 )

σ y ' = - 2,08   M P a

τ x ' y ' = - - 4,15 - - 1,65 2 S E N 2   .     - 15 + - 0,52 .   C O S 2   .   - 15 = - 1,08   M P a

Com isso as nossas seções serão dadas por:

Mas pensa no seguinte, queremos as tensões que agem paralelas e perpendiculares ao plano em análise, que é exatamente o nosso plano marcado em vermelho nos elementos girados. Sendo assim, teremos que:

  1. A tensão de cisalhamento, no plano, paralelo as fibras;
  2. τ x ' y ' = - 1,08   M P a

  3. A tensão normal perpendicular as fibras.

σ x ' = - 3,72   M P a   ( θ = - 15 ° )

σ y ' = - 3,72   M P a   ( θ = 75 ° )

Resposta

  1. τ x ' y ' = - 1,08   M P a
  2. σ x ' = - 3,72   M P a   θ = - 15 °       e       σ y ' = - 3,72   M P a   ( θ = 75 ° )
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