Enunciado

A figura mostra a vista lateral de uma laje de concreto uniforme com uma massa de 12   t . A laje está sendo içada lentamente pelo guincho D por meio do cabo preso ao carrinho. Na posição θ = 60 ° , a distância x desde a posição fixa no solo até o carrinho é igual ao comprimento da laje L = 4 m . Se o cabo de elevação se rompe nesta posição, determine a aceleração inicial a A do carrinho, cuja masssa é desprezível, e a tração inicial T no cabo fixo. A extremidade A da laje não desliza sobre o carrinho

Passo 1

Vamos começar olhando para as forças que agem sobre a laje no caso em que θ = 60 ° .

Podemos montar algumas equações a partir desse desenho. Começando pelo mais simples: a segunda lei de Newton na direção horizontal:

∑ F x = m a x

Escolhemos essa direção porque estamos interessados na força T , e não conhecemos a força N , que é completamente vertical:

∑ F x = T cos ⁡ 30 °

E vamos chamar de a c m x a componente da aceleração do centro de massa da laje na direção x , então:

T cos ⁡ 30 ° = m a c m x

A partir do mesmo desenho, também podemos montar uma equação de momentos em relação ao ponto A , de forma que a força desconhecida N tenha momento nulo:

∑ M A = I A α

∑ M A = m g L 2 cos ⁡ 6 0 ° - T L sen ⁡ 30 °

E o momento de inércia da laje em relação a um eixo que passa pelo ponto A é:

I A = 1 12 m L 2

Então:

m g L 2 cos ⁡ 6 0 ° - T L sen ⁡ 30 ° = m L 2 12 α

Com isso ficamos com um sistema de duas equações:

m g L 2 cos ⁡ 6 0 ° - T L sen ⁡ 30 ° = m L 2 12 α T cos ⁡ 30 ° = m a c m x

Nós temos três variáveis desconhecidas ( a c m , T e α ), mas apenas duas equações. Podemos encontrar a c m de outro jeito para resolver esse problema.

Passo 2

Vamos fazer um diagrama (fora de escala) com as acelerações de cada extremidade e do centro de massa no instante em que o cabo se rompe:

Vamos continuar usando o ponto A como referência, e escrever as acelerações de B e do C M em relação a esse ponto:

a → B = a → A + a → B / A

a → C M = a → A + a → C M / A

E é fácil escrever as acelerações relativas a → C M / A e a → B / A , quando consideramos que a barra tem uma aceleração angular α em torno do ponto A (a mesma α que usamos na nossa equações de momentos lá no primeiro passo):

a → C M / A = L 2 α

a → B / A = L α

Além disso essas duas acelerações relativas terão a mesma direção. Podemos representar tudo isso em um único diagrama (aproveite o desenho anterior para entender de onde vieram os ângulos representados aqui):

Podemos usar esse diagrama para encontrar a C M :

a C M = L α 2 tan ⁡ 30 °

E a componente de a C M na direção x , que é a direção de a A é:

a C M x = L α 2 tan ⁡ 30 ° cos ⁡ 60 °

Passo 3

Vamos substituir essa informação no sistema que escrevemos lá em cima:

m g L 2 cos ⁡ 6 0 ° - T L sen ⁡ 30 ° = m L 2 12 α T cos ⁡ 30 ° = m L α 2 tan ⁡ 30 ° cos ⁡ 60 °

E agora podemos resolver esse sistema (de duas equações e duas variáveis) para encontrar T :

12 10 3 9,81 4 2 cos ⁡ 6 0 ° - T ( 4 ) sen ⁡ 30 ° = 12.10 3 4 2 12 α T cos ⁡ 30 ° = 12.10 3 4 α 2 tan ⁡ 30 ° cos ⁡ 60 °

117,7.10 3 - 2 T = 16.10 3 α T cos ⁡ 30 ° = 6,93.10 3   α

Substituindo a segunda equação na primeira, encontramos o seguinte:

117,7.10 3 - 2 T = 16.10 3 T cos ⁡ 30 ° 6,93.10 3

T 16 6,93 cos ⁡ 30 ° + 2 = 117,7.10 3

T = 29,4   k N

Passo 4

E agora falta apenas calcular a acelerção a A do carrinho. Vamos voltar ao nosso diagrama de acelerações:

Daqui fica fácil ver que:

sen ⁡ 60 ° = L α 2 a A

a A = L α 2 sen ⁡ 60 ° = 2,309   α

E podemos encontrar α usando o nosso sistema de equações do passo anterior, e o resultado que acabamos de obter para T :

T cos ⁡ 30 ° = 6,93.10 3   α

α = 29,4.10 3 cos ⁡ 30 ° ( 6,93.10 3 ) = 3,67   r a d / s 2

Então:

a A = 3,67 2,309 = 8,5   m / s 2

Resposta

A tração inicial é T = 29,4   k N , e a aceleração do carrinho é a A = 8,5   m / s 2 .

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