Enunciado

Uma fita move-se sobre dois tambores mostrados na figura. O tambor A tem massa de 1,4 lb e raio de giração de 0,75 in, enquanto o tambor B tem massa de 3,5 lb e raio de giração de 1,25 in. Na porção inferior da fita, a tensão é constante e igual a TA=0,75 lb. Sabendo que a fita está inicialmente em repouso, determine: (a) a tensão constante requerida TB se a velocidade da fita deve ser v = 10 ft/s após 0,24 s, (b) a tensão correspondente na porção da fita entre os tambores.

Passo 1

E ai gurizada tudo belezinha??? O enunciado pede que a gente, determine: (a) a tensão constante requerida TB se a velocidade da fita deve ser v = 10 ft/s após 0,24 s, (b) a tensão correspondente na porção da fita entre os tambores.

Sabemos que, no estado 1:

t = 0

v = 0

ω A = ω 2 = 0

E no estado 2, que é quando vamos analisar:

t = 0.245

v = 10   f t / s

Para calcular TB e TAB vamos fazer o somatório de momentos em A e B.

∑ M = α I

Como a velocidade angular é:

α = ω t = v r t

O somatório de momentos fica em função só de variáveis que conhecemos:

∑ M = v I r t

Só não temos os momentos de inercia.

Passo 2

O momento de inércia de um disco girando ao redor do próprio eixo, como é o caso dos nossos tambores, é:

I = m r 2 2

Passando os raios para pés,

r A = 0,75   i n = 0,0625   f t

r B = 1,2 5   i n = 0,104   f t

Achamos os momentos de inércia dos 2 discos:

I A = m A r A 2 2 = 1,4 ∙ 0,0625 2 2 = 0,0027   f t 2

I B = m B r B 2 2 = 3,5 ∙ 0,104 2 2 = 0,019   f t 2

Passo 3

No tambor A, temos 3 forças atuando, a tração TA, a tração no trecho entre os 2 tambores, que vamos chamar de TAB e o peso. Mas o peso não faz momento, então o somatório de momentos vai ficar assim:

∑ M A = T A ∙ r A + T A B ∙ r A = v ∙ I A t ∙ r A

Substituindo os valores, podemos achar TAB.

0,75 ∙ 0,0625 + T A B ∙ 0,0625 = 10 ∙ 0,0027 0,24 ∙ 0,0625

T A B = 28,41   l b

Colocamos esse termo com sinal positivo, ou seja, considerando o sentido de TAB é o mesmo de TA, que é puxando a fita pra baixo. E como achamos um valor positivo, significa que o sentido é esse mesmo.

Agora fazendo o somatório de momentos no ponto B, vamos encontrar TB. Colocamos o termo do TB negativo, porque a figura mostra que ele puxa a fita pro outro lado.

∑ M B = T A B ∙ r B - T B ∙ r B = v ∙ I B t ∙ r B

28,41 ∙ 0,104 - T B ∙ 0,104 = 10 ∙ 0,019 0,24 ∙ 0,104

T B = 44,5   l b

Achamos um valor positivo, então quer dizer que supusemos o sentido corretamente. TA e TAB puxam a fita num sentido e TB pro outro.

Resposta

T A B = 28,41   l b

T B = 44,5   l b

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