Enunciado

O aro circular leve de raio r carrega uma tira uniforme pesada de massa m em torno da metade de sua circunferência e é liberado a partir do repouso sobre a inclinação na posição superior mostrada. Após o aro rolar meia volta, (a) determine a sua velocidade angular ω (b encontre a força normal N sob o aro se θ = 10 ° .

Passo 1

Para respondermos a letra (a), vamos primeiro considerar que o aro possui massa desprezível como é dito no enunciado e que a massa se encontra na metade da circunferência. Chamaremos de r o raio e de r - a posição do centro de massa, que pode ser escrita como:

  r - = 2 r π

Vamos precisar usar a lei de conservação de energia:

T f + U f = T i + U i

Como para o caso inicial o sistema está em repouso, sua energia cinética é zero, e para o caso final, sua energia cinética será:

T f = T = 1 2 m v - 2 + 1 2 I ω 2

E para a energia potencial, vamos colocar a posição final como nosso zero para a altura, sobrando apenas a energia potencial inicial, que será:

U = U i = m g 2 r - c o s θ + π r s e n θ = m g r 4 π c o s θ + π s e n θ

Como o enunciado diz que o aro rolou meia volta até a situação da letra (a), então ele rolou π r , e como o centro de massa está próximo à tira, quando a tira rolou meia volta com o aro, o centro de massa desceu 2 r - . E as funções seno e cosseno do ângulo θ são as projeções dessas quantidades, já que estamos considerando apenas a altura que o aro desceu.

Ficamos então com a relação:

m g r 4 π c o s θ + π s e n θ = 1 2 m v 2 + 1 2 I ω 2

Passo 2

Precisamos agora encontrar o valore de I , como o centro de massa não está no centro da circunferência, vamos utilizar o teorema dos eixos paralelos:

I = I 0 - m r - 2

I = m r 2 - m 2 r π 2

I = m r 2 1 - 4 π 2

Substituindo na equação da energia cinética:

T = 1 2 m v - 2 + 1 2 m r 2 1 - 4 π 2 ω 2

Escrevendo a velocidade do centro de massa em termos da velocidade angular:

T = 1 2 m ( r - r - ) ω 2 + 1 2 m r 2 1 - 4 π 2 ω 2

T = 1 2 m r - 2 r π ω 2 + 1 2 m r 2 1 - 4 π 2 ω 2

Resolvendo:

T = m r 2 ω 2 1 - 2 π

Passo 3

Substituindo na nossa lei de conservação:

m r 2 ω 2 1 - 2 π = m g r 4 π c o s θ + π s e n θ

Isolando ω :

ω 2 = m g r 4 π c o s θ + π s e n θ m r 2 ω 2 1 - 2 π

Resolvendo:

ω = g r ( 4 c o s θ + π 2 s e n θ ) π - 2

Passo 4

Para a letra (b), vamos utilizar a segunda lei de Newton para a coordenada y:

∑ F y = m a y - = m r - ω 2

Como as forças que atuam no eixo y, são a força normal e a força peso:

N - m g c o s θ = m r - ω 2

Isolando N e reescrevendo r - :

N = m 2 r π ω 2 + m g c o s θ

Usando o ω que encontramos no item (a)

N = m g π 2 - 2 π + 8 π π - 2 c o s θ + 2 π π - 2 s e n θ

E para θ = 10 ° :

N = m g 3.231 c o s 10 ° + 5.504 s e n 10 ° = 4.14 m g

Resposta

( a ) ω = g r ( 4 c o s θ + π 2 s e n θ ) π - 2

b N = 4.14 m g

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