Enunciado

A fita está sendo transferida do rolo A para o rolo B. Se o rolo B gira com uma velocidade angular constante ω O , determine uma expressão para a aceleração angular α = ω ˙ do rolo A em um instante qualquer quando os raios da fita A e de B são r   e   r O , respectivamente. A espessura da fita é b. Despreze o movimento angular muito pequeno da fita entre os rolos.

Passo 1

Bom pessoal, vamos fazer um esboço do sistema de rolos da questão.

Sendo a velocidade da fita a mesma por toda sua extensão, temos que:

v A = v B

r ω = r O ω O

Derivando a igualdade acima em função do tempo, temos que:

r ˙ ω + r ω ˙ = r O ˙ ω O + r O ω ˙ O

Como o enunciado diz que o rolo B gira a velocidade constante, então ω O ˙ = 0 :

r ˙ ω + r ω ˙ = r O ˙ ω O                       ( 1 )

O raio dos rolos cresce de acordo com a espessura b da fita. Relacionando estas variáveis, temos:

2 π r = n b

Onde n é o número de voltas da fita. Derivando a expressão em função do tempo:

2 π r ˙ = ω b

r ˙ = - ω b 2 π

Importante!!! O sinal de negativo é porque o rolo A está diminuindo a espessura.

Para o rolo B, teremos então que r O :

r O ˙ = ω O b 2 π

Então, voltando para a expressão (1):

- ω b 2 π ω + r ω ˙ = ω O b 2 π ω O

ω ˙ = b 2 π r ( ω ˙ O 2 + ω ˙ 2 )

Resposta

ω ˙ = b 2 π r ( ω ˙ O 2 + ω ˙ 2 )

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