Enunciado

Para o gancho de guindaste mostrado na figura, determine a maior tensão de tração na seção a-a.

Passo 1

Tá legal! A primeira coisa que devemos fazer nesse exercício é separar o trapézio em dois triângulos, para poder encontrar o raio médio da seção, que será dado por:

r - = ∑ A i r - i ∑ A

Então, dividindo a seção em duas, teremos:

Então, sabendo que a área de um triângulo é dada por:

A = b h 2

Para a área 1, teremos:

A 1 = 0,035 0,06 2 → A 1 = 1050 . 10 - 6   m 2

Agora, para a área 2, teremos:

A 2 = 0,0 25 0,06 2 → A 2 = 750 . 10 - 6   m 2

Agora, precisamos encontrar a localização do centroide de cada uma das duas áreas. Sabendo que o centroide de um triângulo está localizado a 1/3 da sua altura (medindo a partir da base), ficou fácil. Para o triângulo 1, teremos:

r - 1 = 40 + 60 3 → r - 1 = 60   m m = 0 , 06   m

Agora, para o triângulo 2, teremos:

r - 2 = 40 + 2 ( 6 0 ) 3 → r - 2 = 80   m m = 0 , 08   m

Agora conseguimos encontrar o centroide da seção. Então, substituindo os valores conhecidos na primeira equação do passo 1, temos:

r - = ∑ A i r - i ∑ A = 1050 . 10 - 6 0 , 06 + 750 . 10 - 6 0 , 08 1050 . 10 - 6 + 750 . 10 - 6

r - = 68,333 . 10 - 3   m

Passo 2

Agora vamos escrever o raio interno da seção, que pode ser visto através da figura do enunciado como a distância do centroide C até a base do trapézio, então temos:

r 1 = 40   m m = 0 , 04   m

Agora, para o raio externo da seção, que será dado pelo raio interno mais a altura do trapézio, temos:

r 2 = r 1 + h = 40 + 60 → r 2 = 100   m m = 0 , 1   m

Agora, para encontrar a localização do raio da superfície neutra da seção, vamos recorrer a fórmula para a seção trapezoidal apresentada na figura 4.61 dessa seção, dada por:

R = 1 2 h 2 b 1 + b 2 b 1 r 2 - b 2 r 1 ln ⁡ r 2 r 1 - h b 1 - b 2  

Então, substituindo os valores conhecidos, chegamos em:

R = 1 2 0,06 2 0,035 + 0,025 0 , 0 35 0 , 1 - 0,02 5 0 , 04 ln ⁡ 0 , 1 0 , 0 4 - 0,06 0,035 - 0,0 25

R = 108 . 10 - 6 2,2907 . 10 - 3 - 600 . 10 - 6 → R = 63,879 . 10 - 3   m

Passo 3

Agora podemos encontrar a excentricidade e da seção, que é a distância entre a linha neutra e o centroide da seção, através de:

e = r - - R

Substituindo os valores conhecidos, teremos:

e = 6 8,333.10 - 3 - 63,879 . 10 - 3 → e = 4,4541 . 10 - 3   m

Agora para encontrar a maior tensão na seção a-a, vamos calcular a tensão na base do trapézio, em r = r 1 = 40   m m . Então, utilizando a equação 4.71 para a tensão gerada pelo momento, temos:

σ = M r - R A e r

Agora devemos lembrar que temos a força de 15 kN que exerce tração na seção, então a tensão total nesse ponto será:

σ = M r - R A e r + P A

Agora, precisamos encontrar o valor do momento resultante da força de 15 kN aplicada no sistema. Sabendo que a força está aplicada no centroide, o momento binário gerado terá como braço de alavanca a distância r - , que é a distância até o centroide da seção trapezoidal. Dessa forma, o momento resultante será:

M = - P r -

Substituindo os valores conhecidos, temos:

M = - 15000 68,333.10 - 3 → M = 1024 , 995   N . m

Agora, substituindo os valores conhecidos na equação para a tensão, temos:

σ = - 1024,995 0,04 - 63,879.10 - 3 1050.10 - 6 + 750.10 - 6 4,4541.10 - 3 ( 0,04 ) + 15000 1050.10 - 6 + 750.10 - 6

σ = 84,65   M P a

Resposta

σ = 84,65   M P a

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