Enunciado

Três chapas são soldadas umas às outras para formar a barra curva mostrada na figura. Para o carregamento dado, determine a distância e entre a linha neutra e o centroide da seção transversal.

(Obs: perceba que esse enunciado está igual ao enunciado da questão 172, isso se deve a um erro de impressão na versão traduzida do livro, na verdade, a questão 171 pede para encontrarmos a tensão nos pontos A, B e no centroide da seção transversal. Para isso, precisamos de um valor de momento, que também não foi dado, então vamos assumir M = 1000 N.m)

Passo 1

Tá legal! Com as considerações a respeito do enunciado feitas, vamos dividir a seção transversal da viga em 3 partes, onde teremos:

Agora nós vamos escrever a expressão que vamos utilizar para encontrar a distância do centro de curvatura C até a superfície neutra. Conforme vimos nessa seção, a equação para essa distância foi apresentada na equação 4.66

R = A ∫ d A r

No entanto, nós dividimos nossa seção transversal em 3, então, nossa fórmula deverá levar em conta essas 3 seções separadas, para isso, faremos o somatório dos termos, chegando em:

R = ∑ A i ∑ ∫ d A r

Reescrevendo a expressão abrindo o termo dA e resolvendo, teremos:

R = ∑ A i ∑ ∫ b i d r r = ∑ A i ∑ b i ∫ r i r i + 1 d r r → R = ∑ A i ∑ b i l n r i + 1 r i

Em que A i é a área da seção em análise, b i a sua espessura e r i o raio interno e r i + 1 o raio externo da seção transversal. Sendo assim, precisamos encontrar esses termos para todas as seções. Vamos precisar também da distância média do centroide da seção em estudo, dada por r - . Como temos uma seção composta, a equação 4.67, em somatório, se torna:

r - = ∑ A i r - i ∑ A i

Passo 2

Vamos começar os cálculos pela primeira seção da figura do passo 1. Vamos calcular primeiro a sua área, que será dada por:

A = b h = 0,0762 0,0127 → A 1 = 967,74.10 - 6   m 2

Agora vamos definir os raios interno e externo. Pela figura, o raio interno será:

r 1 1 = 76,2   m m = 0,0762   m

E o raio externo, por sua vez, será:

r 2 = 76,2 + 12,7 → r 2 1 = 88,9   m m = 0,0889   m

Sendo assim, o raio médio da seção será:

r - = 76,2 + 12,7 2 → r - 1 = 82,55   m m = 0,08255   m

Agora vamos encontrar os valores para a área 2. Sua área será:

A = b h = 0,0127 0,05 → A 2 = 635.10 - 6   m 2

Agora vamos definir os raios interno e externo. Pela figura, o raio interno será:

r 1 = 76,2 + 12,7 → r 1 2 = 88,9   m m = 0,0889   m

E o raio externo, por sua vez, será:

r 2 = 88,9 + 50 → r 2 2 = 138,9   m m = 0,1389   m

Sendo assim, o raio médio da seção será:

r - = 88,9 + 50 2 → r - 2 = 113,9   m m = 0,1139   m

Agora vamos encontrar os valores para a área 3. Sua área será:

A = b h = 0,0508 0,0127 → A 3 = 645,16.10 - 6   m 2

Agora vamos definir os raios interno e externo. Pela figura, o raio interno será:

r 1 = 76,2 + 12,7 + 50 → r 1 3 = 138,9   m m = 0,1389   m

E o raio externo, por sua vez, será:

r 2 = 138,9 + 12,7 → r 2 3 = 151,6   m m = 0,1516   m

Sendo assim, o raio médio da seção será:

r - = 138,9 + 12,7 2 → r - 3 = 145,25   m m = 0,14525   m

Passo 3

Agora podemos calcular o R e r - lá do passo 1. Começando por R teremos:

R = ∑ A i ∑ b i l n r i + 1 r i = 967,74.10 - 6 + 635.10 - 6 + 645,16.10 - 6 0,0762 ln ⁡ 0,0889 0,0762 + 0,0127 ln ⁡ 0,1389 0,0889 + 0,0508 ln ⁡ 0,1516 0,1389

R = 2,2479.10 - 3 11,746.10 - 3 + 5,667.10 - 3 + 4,444.10 - 3 → R = 0,1028   m

Agora, para r - teremos:

r - = ∑ A i r - i ∑ A i = 967,74.10 - 6 ( 0,08255 ) + 635.10 - 6 0,1139 + 645,16.10 - 6 0,14525 967,74.10 - 6 + 635.10 - 6 + 645,16.10 - 6

r - = 0,1094   m

Com esses dois valores, podemos encontrar a excentricidade e da seção, que é a distância entre a linha neutra e o centroide da seção, através de:

e = r - - R

Substituindo os valores conhecidos, chegamos em:

e = 0,1094 - 0,1028 → e = 0,0066   m

Passo 4

Com essas informações conseguimos encontrar a tensão no ponto A, através da equação 4.71, onde temos:

σ A = M r A - R A e r A

Substituindo os valores conhecidos, chegamos em:

σ A = - 1000 0,0762 - 0,1028 967,74.10 - 6 + 635.10 - 6 + 645,16.10 - 6 0,0066 0,0762

σ A = 23,53   M P a

Agora, repetindo os cálculos, só que para o ponto B, com r B = 151,6   m m , teremos:

σ B = M r B - R A e r B - 1000 0,1516 - 0,1028 967,74.10 - 6 + 635.10 - 6 + 645,16.10 - 6 0,0066 0,1516

σ B = - 21,7   M P a

E, por fim, calculando a tensão no centroide da seção, em r - , teremos:

σ C = M r C - R A e r C - 1000 0,1094 - 0,1028 967,74.10 - 6 + 635.10 - 6 + 645,16.10 - 6 0,0066 0,1094

σ C = - 4,07   M P a

Resposta

σ A = 23,53   M P a

σ B = - 21,7   M P a

σ C = - 4,07   M P a

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O momento M atua em um plano vertical e é aplicado a uma viga de seção transversal mostrada. Determinar a tensão no ponto A .
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