Enunciado

27. A haste curvada tem diâmetro de 15   m m e está sujeita à força de 600   N . Determine as tensões principais e a tensão de cisalhamento máxima no plano desenvolvidas no ponto A e no ponto B . Mostre os resultados em elementos adequadamente orientados nesses pontos.

Passo 1

Primeiro, vamos montar o seguinte esquema para o cálculo de força e momento:

Basicamente, transpomos a força de 600   N para o ponto A (ou B ) da haste lembrando de adicionar o momento correspondente à transposição da força.

Agora, faremos as contas para achar o valor de N e M:

→ + ∑ F y = 0

600   N - N = 0

N = 600   N

↶ + ∑ M = 0

M - 600   N × 0,05   m = 0

M = 30   N ⋅ m

Passo 2

Como nossos cálculos anteriores são comuns aos dois pontos, iremos dividir a questão, resolvendo primeiro que foi pedido para o ponto A e depois para o ponto B .

Vamos fazer o cálculo da tensão no ponto A , lembrando que o momento de inércia do círculo é dado por π 4 c 4 , onde c é a distância do centro à borda do círculo:

σ A = N A - M y A I

σ A = 600   N π ( 0,0075   m 2 ) - 30   N ⋅ m 0,0075   m π 4 ( 0,0075   m ) 4

σ A = - 87,146   M P a   ( C o m p r e s s ã o )

Passo 3

Agora, calcularemos as tensões normais de superfície pela fórmula:

σ 1,2 = σ x + σ y 2 ± σ x - σ y 2 2 + τ x y 2

σ 1,2 = - 87,15   M P a + 0   M P a 2 ± - 87,15 M P a - 0   M P a 2 2 + ( 0   M P a ) 2

σ 1,2 = - 43,575   M P a ± 43,575   M P a

Com isso obtemos duas tensões, σ 1 e σ 2 :

σ 1 = σ y = 0   M P a

σ 2 = σ x ≅ - 87,2   M P a

Passo 4

Agora, vamos calcular a tensão de cisalhamento máxima no plano τ m á x pela seguinte fórmula:

τ m á x = σ x - σ y 2 2 + τ x y 2

τ m á x = - 87,2   M P a - 0   M P a 2 2 + ( 0   M P a ) 2

τ m á x ≅ 43,6   M P a

Passo 5

Neste passo, vamos encontrar o ângulo θ S que o elemento será rotacionado:

t g 2 θ s = - σ x - σ y 2 τ x y

t g 2 θ s = - ( - 87 , 2   M P a ) - ( 0   M P a ) 2 ( 0   M P a )

t g 2 θ s = ∞

E devemos calcular o arco tangente do valor encontrado:

tg - 1 ⁡ 2 θ s = ∞

θ s = θ s , 1 = 45 °

Esse ângulo é quanto um dos eixos está deslocado. Para achar o outro ângulo θ s , 2 , devemos somar noventa graus com θ s , 1 :

θ s , 2 = θ s , 1 + 90 °

θ s , 2 = 45 ° + 90 ° = 135 °

Passo 6

Agora, vamos utilizar a fórmula a seguir para calcular a tensão τ x ' y ' deslocada no nosso elemento:

τ x ' y ' = - σ x - σ y 2 s e n 2 θ + τ x y c o s ⁡ ( 2 θ )

τ x ' y ' ≅ - ( - 87 , 2   M P a ) - ( 0   M P a ) 2 ( 0   M P a ) s e n 2 × 45 ° + 0 ⋅ c o s ⁡ ( 2 × 45 ° )

τ x ' y ' ≅ 43,6   M P a

Passo 7

Por fim, calcularemos a tensão média σ m é d :

σ m é d = σ x + σ y 2

σ m é d ≅ ( - 87,2   M P a ) + ( 0   M P a ) 2

σ m é d ≅ - 43,6   M P a

Passo 8

Aqui, repetiremos todos os passos anteriores para o ponto B .

Cálculo da tensão no ponto B :

σ B = N A + M y B I

σ B = 600   N π ( 0,0075   m ) 2 + 30   N ⋅ m 0,0075   m π 4 ( 0,0075   m ) 4

σ B ≅ 93,94   M P a   ( T r a ç ã o )

Passo 9

O cálculo das tensões normais de superfície pela fórmula:

σ 1,2 = σ x + σ y 2 ± σ x - σ y 2 2 + τ x y 2

σ 1,2 = ( 93,94   M P a ) + ( 0   M P a ) 2 ± ( 93,94   M P a ) - ( 0   M P a ) 2 2 + ( 0   M P a ) 2

σ 1,2 ≅ 46,9 7   M P a ± 46,9 7   M P a

Onde novamente obtemos duas tensões σ 1 e σ 2 :

σ 1 = σ x ≅ 93,9 4   M P a

σ 2 = σ y = 0   M P a

Passo 10

Agora, calculemos a tensão de cisalhamento máxima no plano τ m á x :

τ m á x = σ x - σ y 2 2 + τ x y 2

τ m á x = ( 93,94   M P a ) - ( 0   M P a ) 2 2 + ( 0   M P a ) 2

τ m á x ≅ 47   M P a

Passo 11

E em seguida, encontraremos o ângulo θ s que o elemento será rotacionado:

t g 2 θ s = - σ x - σ y 2 τ x y

t g 2 θ s = - ( - 93,94   M P a ) - ( 0   M P a ) 2 ( 0   M P a )

t g 2 θ s = - ∞

E devemos calcular o arco tangente do valor encontrado:

tg - 1 ⁡ 2 θ s = - ∞

θ s , 1 = - 45 °

Esse ângulo é quanto um dos eixos está deslocado. Já sabemos que para encontrar o outro, devemos somar noventa graus com θ s , 1 :

θ s , 2 = θ s , 1 + 90 °

θ s , 2 = - 45 ° + 90 ° = 45 °

Passo 12

E agora, vamos fazer o cálculo da tensão τ x ' y ' deslocada:

τ x ' y ' = - σ x - σ y 2 s e n 2 θ + τ x y c o s ⁡ ( 2 θ )

τ x ' y ' = - ( - 93,94   M P a ) - ( 0   M P a ) 2 ⋅ ( 0   M P a ) s e n 2 × 45 ° + 0 ⋅ c o s ⁡ ( 2 × 45 ° )

τ x ' y ' ≅ - 47   M P a

Passo 13

E por fim, calcularemos a tensão média σ m é d :

σ m é d = σ x + σ y 2

σ m é d = ( 93,94   M P a ) + ( 0   M P a ) 2

σ m é d ≅ - 47   M P a

Resposta

Tensões principais no ponto A :

σ 1 = 0   M P a

σ 2 ≅ - 87,2   M P a

Tensão de cisalhamento máxima no ponto A :

τ m á x = 43,6   M P a

Tensões principais no ponto B :

σ 1 = 93,9 4   M P a

σ 2 = 0   M P a

Tensão de cisalhamento máxima no ponto B :

τ m á x = 47   M P a

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Os problemas a seguir, se referem a um perfil de aço laminado selecionado em um problema do capítulo 5, para suportar determinado carregamento a um custo mínimo e ao mesmo tempo satisfazendo a condiçã
Os problemas a seguir, se referem a um perfil de aço laminado selecionado em um problema do capítulo 5, para suportar determinado carregamento a um custo mínimo e ao mesmo tempo satisfazendo a condiçã
Os problemas a seguir, se referem a um perfil de aço laminado selecionado em um problema do capítulo 5, para suportar determinado carregamento a um custo mínimo e ao mesmo tempo satisfazendo a condiçã
Os problemas a seguir, se referem a um perfil de aço laminado selecionado em um problema do capítulo 5, para suportar determinado carregamento a um custo mínimo e ao mesmo tempo satisfazendo a condiçã
Os problemas a seguir, se referem a um perfil de aço laminado selecionado em um problema do capítulo 5, para suportar determinado carregamento a um custo mínimo e ao mesmo tempo satisfazendo a condiçã