Enunciado

28. A superfície da viga simplesmente apoiada está sujeita à tensão de tração τ 0 . Determine as tensões principais nos pontos A e B .

Passo 1

Aqui, vamos primeira montar os diagramas de corpo livre da viga e o diagrama de esforço cortante e momento fletor:

Cálculo do esforço cortante:

→ + ∑ F x = 0

V A - τ 0 b L 2 = 0

V A = τ 0 b L 2

Cálculo do momento fletor:

⤻ + ∑ M A = 0

M A - τ 0 b L 2 ⋅ d 2 = 0

M A = τ 0 b L d 4

Passo 2

Como nossos cálculos anteriores eram comuns aos dois pontos, iremos dividir a questão, resolvendo primeiro o que foi pedido para o ponto A e depois para o ponto B .

Vamos agora, fazer o cálculo da tensão no ponto A , lembrando que a fórmula do momento de inércia de um retângulo é 1 12 ( b h 3 ) , onde b é o tamanho da parede paralela ao eixo e h é o tamanho da parede perpendicular ao eixo:

σ A = N A - M y A I

σ A = τ 0 b L 2 b d - τ 0 b L d 4 d 2 1 12 b d 3

σ A = - τ 0 L d ( U n i d a d e s   e m   P a s c a l )

E a tensão cisalhante, nada mais é do que:

τ A = τ 0   ( U n i d a d e s   e m   P a s c a l )

Passo 3

Calcularemos, então, as tensões principais no ponto A :

σ 1,2 = σ x + σ y 2 ± σ x - σ y 2 2 + τ x y 2

σ 1,2 = - τ 0 L 2 d ± τ 0 L 2 d 2 + τ 0 2

Esse resultado nos fornece duas tensões, uma máxima σ 1 e uma mínima σ 2 :

σ 1 = - τ 0 L 2 d + τ 0 L 2 d 2 + 1   ( U n i d a d e s   e m   P a s c a l )

σ 2 = - τ 0 L 2 d - τ 0 L 2 d 2 + 1 ( U n i d a d e s   e m   P a s c a l )

Passo 4

Agora, vamos calcular a tensão no ponto B , através da seguinte fórmula:

σ B = N A + M y B I

σ B = τ 0 b L 2 b d + τ 0 b L d 4 d 2 1 12 b d 3

σ B = - 2 τ 0 L d ( U n i d a d e s   e m   P a s c a l )

Passo 5

Finalmente, calcularemos em seguida as tensões principais no ponto B , lembrando que a tensão de cisalhamento neste ponto é zero:

σ 1,2 = σ x + σ y 2 ± σ x - σ y 2 2 + τ x y 2

σ 1,2 = τ 0 L 2 d ± τ 0 L 2 d 2 + 0 2

Novamente conseguimos obter duas tensões, uma máxima σ 1 e uma mínima σ 2 :

σ 1 = 2 τ 0 L 2 d = τ 0 L d ( U n i d a d e s   e m   P a s c a l )

σ 2 = 0   ( U n i d a d e s   e m   P a s c a l )

Resposta

Tensões principais no ponto A :

σ 1 = - τ 0 L 2 d + τ 0 L 2 d 2 + 1   ( U n i d a d e s   e m   P a s c a l )

σ 2 = - τ 0 L 2 d - τ 0 L 2 d 2 + 1   ( U n i d a d e s   e m   P a s c a l )

Tensões principais no ponto B :

σ 1 = 2 τ 0 L 2 d   M P a

σ 2 = 0   M P a

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