Uma haste delgada uniforme de massa m e comprimento l é articulada no ponto A e está ligada a quatro molas lineares e uma mola torcional, como mostra a Figura 2.84. Determine a a frequência natural do sistema se k =   2.000   N / m , k l   =   1.000   N . m / r a d , m = 10   k g e   l   =   5   m .

Passo 1

Queremos a frequência natural do sistema dado na figura do enunciado.

Vamos calcular o momento de inércia de massa da haste delgada sobre o seu centro de gravidade G :

J G = 1 12 m l 2

O momento de inércia de massa da haste, no ponto A será:

J A = J G + m d 2

Onde d é a distância entre o centro de gravidade e o ponto A .

O centro de gravidade da haste fica no seu meio: l / 2 .

A distância d será:

d = 2 l 3 - l 2

d = l 6

Portanto:

J A = 1 12 m l 2 + m l 6 2

J A = 1 9 m l 2

Passo 2

Aplicando o principio do momento angular sobre o ponto A , obtemos a seguinte equação de movimento para o sistema:

J A θ ¨ = - W d θ - 2 k l 3 θ l 3 - 2 k 2 l 3 θ 2 l 3 - k l θ

Onde, W indica o peso da haste e θ ¨ é a aceleração angular da haste.

Desenvolvendo a equação, temos que:

1 9 m l 2 θ ¨ = - m g l 6 θ - 2 k l 3 θ l 3 - 2 k 2 l 3 θ 2 l 3 - k l θ

1 9 m l 2 θ ¨ + m g l 6 + 10 9 k l 2 + k l θ = 0

θ ¨ + m g l 6 + 10 9 k l 2 + k l 1 9 m l 2 θ = 0

Sabemos que a equação de movimento para o sistema dado pode ser modelada como:

θ ¨ + ω n 2 θ = 0

Portanto, temos que:

ω n 2 = m g l 6 + 10 9 k l 2 + k l 1 9 m l 2

ω n = m g l 6 + 10 9 k l 2 + k l 1 9 m l 2

Substituindo os dados, temos que:

ω n = 10   k g 9,81   m / s 2 5   m 6 + 10 9 2000   N / m ( 5   m ) 2 + 1000   N ⋅ m / r a d 1 9 10   k g 5   m 2

ω n = 45,155   r a d / s

Resposta

ω n = 45,155   r a d / s

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