Use o método de Rayleigh para resolver o Problema 2.68 .

Passo 1

Vamos calcular o momento de inércia J A de massa do sistema dado da seguinte forma:

J A = 1 12 m l 2 + m l 6 2

J A = 1 9 m l 2

A energia cinética do sistema será:

T = 1 2 J A θ ˙ 2

A energia cinética será máxima quando:

θ ˙ = ω n θ

θ = X

Logo:

T m á x = 1 2 1 9 m l 2 ω n 2 X 2

Onde X indica a amplitude de vibração.

Passo 2

A energia potencial é dada por:

U = m g d 1 - cos ⁡ θ + 2 1 2 k x 1 2 + 1 2 k x 2 2 + 1 2 k 1 θ 2

Considerando as condições de máximo, teremos que:

U m á x = 1 2 m g l 6 + 10 k l 2 9 + k 1 X 2

Podemos calcular a frequência natural pelo método de Rayleigh equacionando as duas equações:

T m á x = U m á x

1 2 1 9 m l 2 ω n 2 X 2 = 1 2 m g l 6 + 10 k l 2 9 + k 1 X 2

1 9 m l 2 ω n 2 = m g l 6 + 10 k l 2 9 + k 1

Passo 3

Portanto:

ω n 2 = m g l 6 + 10 k l 2 9 + k 1 1 9 m l 2

ω n = m g l 6 + 10 k l 2 9 + k 1 1 9 m l 2

Substituindo os valores, temos que:

ω n = 10 9,81 5 6 + 10 2000 5 2 9 + 1000 1 9 10 5 2

ω n = 45,155   r a d / s

Resposta

ω n = 45,155   r a d / s

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