Enunciado

As hastes A B e C D são feitas de aço cuja tensão de ruptura por tração é σ r u p   =   510   M P a . Usando um fator de segurança F S   =   1,75 para tração, determine o menor diâmetro das hastes de modo que elas possam suportar a carga mostrada. Considere que a viga está acoplada por pinos em A e C .

Passo 1

Falaaa! Para começar, a gente precisa calcular as forças nas hastes e para isso vamos precisar das reações de apoio. Podemos usar as equações de equilíbrio:

∑ M a = 0

∑ F y = 0

Adotando o sentido anti-horário vamos obter

∑ M a = 0

F c d ⋅ 10 m - 4 k N ⋅ 2 m - 6 k N ⋅ 4 m - 5 k N ⋅ 7 m = 0

F c d ⋅ 10 m = 4 k N ⋅ 2 + 6 k N ⋅ 4 m + 5 k N ⋅ 7 m

F c d ⋅ 10 = 4 k N ⋅ 2 + 6 k N ⋅ 4 + 5 k N ⋅ 7

F c d = 6,7   k N

Daí:

∑ F y = 0

F a b + F c d = 4 k N + 6 k N + 5 k N

F a b + F c d = 15 k N

Como F c d = 6,70   k N :

F a b = 15 k N - 6,7 k N = 8,3 k N

Passo 2

Agora pensa comigo: a tensão normal média em uma haste é dada por

σ m e d = F A

Como ela tem seção circular

σ m e d = F π d 2 4

Mas a máxima tensão que essa haste aguenta é

σ r u p   =   510   M P a

Porém, queremos usar um fator de segurança de 1,75 para essa tensão normal. O que isso quer dizer? Cara, quer dizer que, na verdade, a nossa tensão máxima permitida é σ r u p DIVIDIDO pelo fator de segurança

σ p e r m i t i d a = σ r u p F S = 510 1,75 = 291,43   M P a = 291,43 ⋅ 10 6   P a

Já que essa é a tensão máxima que nossa haste pode suportar, podemos igualar esse valor a tensão média na haste, para achar o valor do diâmetro da barra para essa situação limite:

σ p e r m i t i d a = σ m e d

Temos

291,43 = F π d 2 4 ∴ π 4 d 2 = F 291,43 ⋅ 10 6 ∴ d = 4 F 291,43 ⋅ 10 6 ⋅ π

Passo 3

Olha que lindo, a gente achou uma expressão para o diâmetro de uma haste com as características físicas iguais as das nossas hastes. O que fazemos? A gente substitui os valores para o caso da haste a b e para a haste c d :

- Para a b

F a b = 8,3   k   N = 8,3 ⋅ 10 3 N

d a b = 4 8,3 ⋅ 10 3 291,43 ⋅ 10 6 ⋅ π = 0,00602   m = 6,02   m m

- Para c d

F c d = 8,3   k   N = 8,3 ⋅ 10 3 N

d c d = 4 6,7 ⋅ 10 3 291,43 ⋅ 10 6 ⋅ π = 0,00541   m = 5,41   m m

Resposta

Para A B :

d a b = 6,02 m m

Para C D :

d c d = 5,41 m m

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