Enunciado

A hélice de um pequeno avião tem uma corrente de ar produzida de 2 m de diâmetro, gerando um empuxo de 4.000 N quando o avião está parado no solo. Considerando γ = 1,21 kg/m³ para o ar, determine (a) a velocidade do ar na corrente produzida, (b) o volume de ar que passa pela hélice por segundo, (c) a energia cinética transmitida por segundo para o ar na corrente produzida.

Passo 1

Vamos lá resolver mais essa? Quando a hélice do avião se movimenta, em um certo intervalo de tempo, forma um cilindro imaginário, como mostra a figura abaixo:

Assim, a força de empuxo da hélice pode ser calculada por:

F = d m d t ( v B - v A )

Onde v B é a velocidade a jusante e v A é a velocidade a montante, que pode ser desprezada para esse caso. O cálculo de dm/dt pode ser feito como:

d m d t = Δ m Δ t = γ A Δ l Δ t

d m d t = γ A v a r

Passo 2

Com uma expressão para calcular a taxa de variação de massa, podemos calcular a velocidade de ar à jusante:

F = γ A v a r 2

v a r 2 = 4000 1 1,21 4 π ⋅ 2 2

v a r = 32,4   m / s

E com isso podemos calcular a vazão de ar que passa pela hélice:

Q = 1 γ d m d t = A v a r  

Q = π ⋅ 2 2 4 32,4 = 101,16   m 3 / s

Passo 3

A energia cinética por segundo gerada pela corrente de ar é calculada por:

Δ T Δ t = 1 2 Δ m Δ t v a r 2 = 1 2 γ A v a r 3

Δ T Δ t = 1 2 1,21 π ⋅ 2 2 4 32,4 3

Δ T Δ t = 64646   J / s = 64,6   k J / s

Resposta

  1. 32,4 m/s
  2. 101,16 m³/s
  3. 64,6 kJ/s
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