Enunciado

Uma laje de concreto é reforçada por três barras de aço colocadas conforme mostra figura. O módulo de elasticidade é de 20,7   G P a para o concreto e de 20 7   G P a para o aço. usando uma tensão admissível de 9 , 31   M p a para o concreto e de 138   M p a para o aço, determine o maior momento fletor admissível positivo que pode ser aplicado à viga.

Passo 1

Fala galera, essa questão pode parecer que foge um pouco do padrão do que estávamos fazendo, mas não, ela ainda é bem tranquila de ser resolvida, porque ela vai suar conceitos bem parecidos com o que já estávamos vendo, só vamos ter alguns macetinhos novos pra ajudar a gente, com isso, bora meter a mão na massa.

Sabemos que o nosso fator a ser calculado é dado por:

n = E p a r t e   t r a n s f o r m a d a   E p a r t e   i n t a c t a  

Nesse tipo de questão, o macete vai ser sempre transformar o aço em concreto, assim, vamos ter que:

n = E a ç o   E c o n c r e t o   = 20 7 20,7 = 10

E o que fazíamos com esse fator? Multiplicávamos ele pela largura da nossa seção, certo? Aqui vamos usar um conceito parecido, porém, não igual, porque vamos ter que multiplicar pela área da seção de aço, e para isso precisamos saber o tamanho da nossa seção, e é bem simples, eu vou pegar a distância entre centros de barras, e com isso teremos a seguinte seção:

Como temos 3 barrinhas, precisamos da área delas 3.

A = 3 π D 2 4 = 3 π × 22,2 2 4 = 1161,2   m m 2

E a mudança que vamos fazer é exatamente na área de aço, assim vamos ter que:

n A = 10 × 1161,2 = 11612   m m 2

E agora que fizemos isso, vamos aprender um macete MUITO MANEIRO, para determinarmos a LN, é tão maneiro que vou explicar ele no próximo passo.

Passo 2

Para determinarmos a LN eu vou primeiro mostrar a seção e depois explico ela, no caso, a nossa seção vai virar o seguinte:

Agora perceba o seguinte, veja que a largura da seção de concreto e a distância do centroide da região que está o aço foram mantidos intactos, são exatamente iguais a primeira seção que fizemos, o que tem de novo?

  • Primeiro, ao invés de usarmos a área da seção de aço normal, estamos usando a de aço modificada
  • Segundo, perceba que eu posicionei a LN no que eu representei como o final da seção de concreto, isso significa que a seção de concreto realmente acaba ali? Não não, isso é só um macete para podermos fazer as contas.

Concreto é muito fraquinho para tração, então quem obrigatoriamente vai segurar a tração é o aço, por isso colocamos a REGIÃO toda do aço abaixo da LN.

Em contra partida, o concreto é muito TOP com compressão, e ele quem vai segurar a compressão toda, por isso fazemos ele totalmente acima da LN. Sacou a facilidade? Fazendo isso a gente consegue saber bem onde usar dados do aço e onde usar dados do concreto.

E a LN? É bem simples é só fazer a área de concreto multiplicando pela distancia do centroide dela até a suposta LN, e isso tem que ser igual a área modificada do aço multiplicada pela distancia dela a té a suposta LN, assim temos que:

203,2 ∙ x ∙ x 2 = ( 355,6 - x ) ∙ 11612

101,6 x 2 + 11612 x - 4129227,2 = 0

Resolvendo a equação, temos que:

x 1 = - 266,7

x 2 = 152,4   m m

E assim ficamos com o valor positivo. Para o momento de inércia, temos a seguinte equação a ser feita:

I c o n c r e t o = b h 3 12 + A d 2

I c o n c r e t o = b x 3 12 + b x x 2 2 = b x 3 12 + b x 3 4 = b x 3 3

e para o aço teremos que:

I a ç o = b h 3 12 + n A d 2

Como a altura é muito, muito, muito pequena, podemos considerar a primeira parte zero, assim temos que:

I a ç o = n A ( 355,6 - x ) 2

Assim teremos que:

I = b x 3 3 + n A ( 355,6 - x ) 2

I = 203,2 × 152,4 3 3 + 11612 × ( 355,6 - 152,4 ) 2 = 719211568 m m 4

E agora só precisamos determinar os pontos mais distantes da LN no concreto e no aço, assim teremos que:

Agora vamos para as nossas tensões.

Passo 3

Nosso objetivo é determinar o máximo momento, e a fórmula que relaciona a tensão com o momento é dado por:

σ c o n c r e t o = - M y I

E se verificarmos a estrutura que foi transformada, no caso o aço, teremos que usar a seguinte equação:

σ a ç o = - n M y I

Temos então que:

  • Verificando o concreto
  • y c o n c r e t o = 152,4   m m

    I = 719211568   m m 4

    σ c o n c r e t o = 9,31   M P a = 9,31   N / m m 2

    Assim temos que:

    9,31 N m m 2 = - M ∙ 152,4 m m 719211568   m m 4

    M = - 43936087   N m m = - 43,9   k N m

  • Verificando Aço

y A ç o = 203,2   m m

I = 719211568   m m 4

σ A ç o = 138   M P a = 138   N / m m 2

Assim temos que:

138 N m m 2 = - 10 M ∙ ( - 203,2 ) m m 719211568   m m 4

M = 48844093   N m m = 48,8   k N m

Como queremos o momento mais seguro, precisamos escolher o menor dos dois, assim o nosso momento vai ser dado por:

M = 43,9   k N m

Resposta

M = 43,9   k N m

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Uma viga estruturada tem a seção transversal mostrada na figura. Determine (a) a localização do centro de cisalhamento O e (b) a distribuição das tensões de cisalhamento provocadas pela força cortante
Determine a localização do centro do centro de cisalhamento O de uma viga de paredes finas de espessura uniforme com o seção transversal mostrada.
Determine a distribuição de tensões de cisalhamento ao longo da linha D ' B ' na aba horizontal da cantoneira para o carregamento mostrado. Os eixos x ' e y ' são eixos principais da seção transversal
Para a cantoneira e o carregamento do Problema 6.81, determine a distribuição de tensões de cisalhamento ao longo da linha D ' A ' na aba vertical
Três pranchas são pregadas juntas de modo a formar a viga mostrada, a qual está submetida a uma força cortante vertical. Sabendo que o espaçamento entre os pregos é s = 75m m e a força cortante admiss