Localize o centro de gravidade do volume. O material é homogêneo.

Passo 1

Oi tudo bem? Vamos resolver este exercício.

Nesse problema foi dado um objeto e nosso objetivo é calcular seu centro de gravidade.

Lembra como fazemos isso?

Para calcular o centro de gravidade de um objeto podemos fazer:

x - = ∫ V x d V ∫ V d V ,     y - = ∫ V y d V ∫ V d V ,     z - = ∫ V z d V ∫ V d V

Saca só!

Passo 2

Perceba que o objeto é simétrico ao redor do eixo z , com isso, como o objeto é homogêneo podemos dizer que:

x - = y - = 0   m

Assim nosso problema se reduz a:

z - = ∫ V z d V ∫ V d V

O elemento infinitesimal d V pode ser calculado como:

d V = π y 2 d z

Já que a casca inferior tem uma simetria circular no plano x y .

Porém, na figura do problema diz que

y 2 = 2 z

Ou seja:

d V = 2 π z d z

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Agora que temos nosso elemento infinitesimal d V podemos calcular as integrais:

∫ V z d V = ∫ 0 2 z 2 π z d z = 2 π z 3 3 0 2 = 16 3 π

∫ V d V = ∫ 0 2 2 π z d z = 2 π z 2 2 0 2 = 4 π

Com isso, o centro geometrico no eixo z é:

z - = ∫ V z d V ∫ V d V = 16 π 3 4 π

z - = 4 3   m

E aí! entendeu tudo? Responde Aí!

Resposta

x - = y - = 0   m

z - = 4 3   m

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