Enunciado

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Localize o centroide x - da área sombreada.

Passo 1

Oi tudo bem? Vamos resolver este exercício.

Vamos iniciar desenhando o diagrama de corpo livre mostrando o elemento diferencial da área sombreada.

Passo 2

Agora iremos escrever a equação da área sombreada

y = h a x 1

x 1 = a h y

y = h a - b x 2 - b

x 2 = a - b h ( y + b )

Vamos calcular a área elementar da área sombreada

d A = x 2 - x 1 d y

Vamos substituir

d A = a - b h y + b - a h y

d A = b - b h y d y

Passo 3

Vamos calcular o centroide da área do elemento localizado em torno do eixo de x.

x ¯ = x 1 + x 2 - x 1 2

x ¯ = 1 2 x 2 + x 1

= 1 2 a - b h y + b - a h y

x ¯ = a h y - b 2 h y + b 2

Passo 4

Vamos calcular o centroide x ¯ da área sombreada.

x ¯ = ∫ A x ¯ d A ∫ A d A

x ¯ = ∫ 0 h a h y - b 2 h y + b 2 b - b h y d y ∫ 0 h b - b h y d y

= b 2 h a - b y 2 + b 6 h 2 b - 2 a y 3 + b 2 2 y 0 h b y - b 2 h y 2 0 h

x ¯ = b 2 h a - b h 2 + b 6 h 2 b - 2 a h 3 + b 2 2 h - 0 b h - b 2 h h 2 - 0

Passo 5

Vamos simplificar

x ¯ = b h 6 a + b b h 2

x ¯ = 1 3 ( a + b )

Resposta

P o r t a n t o ,   o   c e n t r o i d e   x ¯   d a   á r e a   s o m b r e a d a   é       1   3 a + b .

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