Localize o centro de massa do bloco. Os materiais 1, 2 e 3 possuem densidades de 2,70   M g / m ³ , 5,70   M g / m ³ e 7,80   M g / m ³ , respectivamente.

Passo 1

Fala aí, galerinha do Responde aí. Tudo bem? Bora pra mais uma questão.

Nesse problema temos que calcular o centro de massa do objeto dadas as suas dimensões e densidades.

Tem ideia de como fazemos isso?

Para resolver esse problema podemos aplicar as fórmulas do centro de massa pelos somatórios:

x - = ∑ x - ' M ∑ M ,     y - = ∑ y - ' M ∑ M ,     z - = ∑ z - ' M ∑ M

Lembrando que

M = ρ V

Saca só!

Passo 2

Para o objeto 1, temos uma “rampa” de altura h 1 = 30   m m , largura l 1 = 20   m m e comprimento c 1 = 60   m m .

Assim, seu volume é:

V 1 = 30 · 20 · 60 2 = 18 · 10 3   m m 3

Passando para m 3 ...

V 1 = 18 · 10 3 · 10 - 9   m 3

V 1 = 18 · 10 - 6   m 3

Logo, sua massa é:

M 1 = ρ 1 V 1 = 2,70 · 18 · 10 - 6

M 1 = 4,86 · 10 - 5   M g

E com base na figura, o centro geométrico desse objeto é:

x - 1 = 20 2 = 0,0 1   m

y - 1 = c 1 3 = 60 3 = 0,0 2   m

z - 1 = 20 + 40 + 30 3 = 0,07   m

Show?

Passo 3

Agora faremos o mesmo para o objeto 2.

Nesse caso temos uma caixa cujo volume é:

V 2 = 40 · 20 · 60 = 48 · 10 3   m m 3

V 2 = 48 · 10 - 6   m 3

Se ρ 2 = 5,70   M g / m 3 , então sua massa é:

M 2 = ρ 2 V 2 = 5,7 · 48 · 10 - 6

M 2 = 2,736 · 10 - 4   M g

E a partir da figura, seu centro geométrico é:

x - 2 = 20 2 = 0,01   m

y - 2 = 60 2 = 0,03   m

z - 2 = 20 + 40 2 = 0,04   m

Tranquilo até aqui?

Passo 4

E por último o objeto 3.

Seu volume é:

V 3 = 20 · 60 · 60 = 72 · 10 3   m m 3

V 3 = 72 · 10 - 6   m 3

Se ρ 3 = 7,80   M g / m 3 , então:

M 3 = 7,8 · 72 · 10 - 6

M 3 = 5,616 · 10 - 4   M g

E seu centro geométrico é:

x - 3 = 60 2 = 0,03   m

y - 3 = 60 2 = 0,03   m

z - 3 = 20 2 = 0,01   m

Bacana, não é?

Passo 5

Agora basta substituir tudo isso nas fórmulas que vimos no passo 1:

  • Para encontrar x - :
  • x - = ∑ x - ' M ∑ M = x - 1 · M 1 + x - 2 · M 2 + x - 3 · M 3 M 1 + M 2 + M 3

    x - = 0,01 · 4,86 · 10 - 5 + 0,01 · 2,736 · 10 - 4 + 0,03 · 5,616 · 10 - 4 4,86 · 10 - 5 + 2,736 · 10 - 4 + 5,616 · 10 - 4

    Simplificando...

    x - = 0,01 · 0 , 486 + 0,01 · 2,736 + 0,03 · 5,616 0 , 486 + 2,736 + 5,616

    x - = 22,7   m m

  • Para encontrar y - :
  • y - = ∑ y - ' M ∑ M = y - 1 · M 1 + y - 2 · M 2 + y - 3 · M 3 M 1 + M 2 + M 3

    y - = 0,0 2 · 4,86 · 10 - 5 + 0,0 3 · 2,736 · 10 - 4 + 0,03 · 5,616 · 10 - 4 4,86 · 10 - 5 + 2,736 · 10 - 4 + 5,616 · 10 - 4

    Simplificando...

    y - = 0,0 2 · 0,486 + 0,0 3 · 2,736 + 0,03 · 5,616 0,486 + 2,736 + 5,616

    y - = 29,5   m m

  • Para encontrar z - :

z - = ∑ z - ' M ∑ M = z - 1 · M 1 + z - 2 · M 2 + z - 3 · M 3 M 1 + M 2 + M 3

z - = 0,0 7 · 4,86 · 10 - 5 + 0,0 4 · 2,736 · 10 - 4 + 0,0 1 · 5,616 · 10 - 4 4,86 · 10 - 5 + 2,736 · 10 - 4 + 5,616 · 10 - 4

Simplificando...

z - = 0,0 7 · 0,486 + 0,0 4 · 2,736 + 0,0 1 · 5,616 0,486 + 2,736 + 5,616

z - = 22,6   m m

E fim! O que achou? Responde Aí!

Resposta

x - = 22,7   m m

y - = 29,5   m m

z - = 22,6   m m

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