Enunciado

Uma massa m é ligada à extremidade de uma barra de massa desprezível e entra em vibração em três configurações diferentes, como indicado na Figura 2.79. Determine a configuração correspondentes à mais alta frequência natural.

Passo 1

A equação de movimento do pêndulo é dada por:

l θ ¨ + g sen ⁡ θ = 0

Podemos aproximar sen ⁡ θ para θ :

l θ ¨ + g θ = 0

θ ¨ + g l θ = 0

A frequência natural do sistema é dada por:

ω n = g l

Passo 2

Temos que a equação de movimento para a configuração b é dada por:

m l 2 θ ¨ + k a 2 sen ⁡ θ + m g l sen ⁡ θ = 0

Aproximando sen ⁡ θ = θ , temos que:

m l 2 θ ¨ + k a 2 θ + m g l θ = 0

ω n = k a 2 + m g l m l 2

Passo 3

Temos que a equação de movimento para a configuração c é dada por:

m l 2 θ ¨ + k a 2 sen ⁡ θ - m g l sen ⁡ θ = 0

Aproximando sen ⁡ θ = θ , temos que:

m l 2 θ ¨ + k a 2 θ - m g l θ = 0

ω n = k a 2 - m g l m l 2

Portanto a configuração b é a de frequência natural mais alta.

Resposta

a )   ω n = g l

b )   ω n = k a 2 + m g l m l 2

c )   ω n = k a 2 - m g l m l 2

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