Enunciado

A massa de um sistema massa-mola vibra sobre uma superfície seca com uma inclinação 30 ° em relação à horizontal, como mostra a Figura 2.99.

  1. Derive a equação de movimento.
  2. Determine a resposta do sistema para os seguintes dadosm = 20 kg, k = 1.000 N/m, μ = 0,1, x0 = 0,1 m, x ˙ 0 = 5 m/s

Figura 2.99

Passo 1

O exercício pede galera que a gente: Derive a equação de movimento. E determine a resposta do sistema para os seguintes dados

  1. θ = 30 °

    N = m g cos ⁡ θ

    Passo 2

    Caso 1:

    Quando x =   + e x ˙ = + ou x = - e x ˙ = + :

    m x ¨ = - 2 k x - μ N + m g sin ⁡ θ

    m x ¨ + 2 k x = - μ   m g cos ⁡ θ + m g sin ⁡ θ

    Passo 3

    Caso 2:

    Quando x =   + e x ˙ = - ou x = - e x ˙ = - :

    m x ¨ = - 2 k x + μ N + m g sin ⁡ θ

    m x ¨ + 2 k x = μ   m g cos ⁡ θ + m g sin ⁡ θ

    As Eqs. (E.1) e (E.2) podem ser escrito como uma única equação como:

    m x ¨ + μ m g cos ⁡ θ   s g n x ˙ + 2 k x + m g sin ⁡ θ = 0

    Passo 2

x 0 = 0.1   m ,                 x ˙ 0 = 5   m/s

ω n = k m = 1000 20 = 7.0710668   rad/s

Solução da Eq. (E.1):

x t = A 1 cos ⁡ ω n t + A 2 sin ⁡ ω n t - μ m g cos ⁡ θ k + m g sin ⁡ θ k

Solução da Eq. (E.2):

x t = A 3 cos ⁡ ω n t + A 4 sin ⁡ ω n t - μ m g cos ⁡ θ k + m g sin ⁡ θ k

Usando as condições iniciais em cada meio ciclo, as constantes A1 e A2 ou A3 e A4 são encontradas. Por exemplo, no primeiro meio ciclo, o movimento começa da esquerda para a direita com x 0 = 0.1 e x ˙ 0 = 5 . Esses valores podem ser usados na Eq. (E.4) para encontrar A1 e A2.

Resposta

Usando as condições iniciais em cada meio ciclo, as constantes A1 e A2 ou A3 e A4 são encontradas. Por exemplo, no primeiro meio ciclo, o movimento começa da esquerda para a direita com x 0 = 0.1 e x ˙ 0 = 5 . Esses valores podem ser usados na Eq. (E.4) para encontrar A1 e A2.

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