Enunciado

O mecanismo mostrado se move no plano vertical. A barra vertical AB tem uma massa de 4,5 kg, e cada uma das duas hastes tem uma massa de 2,7kg com centro de massa em G e com um raio de giração de 250 mm em relação ao seu mancal (O ou C). A mola tem uma rigidez de 220 N/m e um comprimento sem deformação de 450 mm. Se o apoio D é subitamente retirado, determine a aceleração angular inicial α das hastes.

Passo 1

Bom galera, vamos considerar um deslocamento infinitesimal d θ das hastes após a retirada do apoio. Outra coisa, vamos representar o mecanismo preenchendo com os ângulos.

Após o deslocamento d θ , a mola terá o seguinte comprimento (ver o triângulo OPC + OPA):

L = 2 0,45 cos ⁡ θ 2

Como o enunciado diz que o comprimento natural da mola é de 0,45m, então ela possui uma deflexão de:

x = 0,9 c o s ( θ / 2 ) - 0,45

E seu diferencial é dado por:

d x = - 0,9 s e n θ 2 d θ 2

Agora vamos para o calculo das energias.

A variação infinitesimal da energia potencial gravitacional pode ser escrita por:

d V g = 2 m g   d h + M g   d H

d V g = 2 ( 2,7 ) 9,81   d 0,45 2 c o s θ + 4,5 ( 9,81 )   d ( 0,45 c o s θ )

d V g = 11,92   d c o s θ + 19,86 d ( c o s θ )

d V g = - 31,78 s e n θ   d θ           ( 1 )

A variação da energia potencial elástica é dada por:

d V e = d 1 2 k x 2 = k x d x = 220 0,9 c o s θ 2 - 0,45 - 0,9 s e n θ 2 d θ 2

d V e = - 99   c o s θ 0,9 c o s θ 2 - 0,45 d θ               ( 2 )

A energia cinética vai ser composta pela rotação das hastes e pela translação da barra vertical. A velocidade absoluta da barra pode ser escrita pela seguinte relação com a velocidade angular das hastes:

v = θ ˙ l = 0,45 θ ˙

Seu valor infinitesimal fica:

d v = 0,45 d θ ˙

Bom, a equação da variação infinitesimal da energia cinética será composta então por (lembrando que são 2 hastes):

d T = 2 d 1 2 I θ ˙ 2 + d 1 2 M v 2

d T = 2 I θ ˙   d θ ˙ + M v   d v

Onde o momento de inercia de uma haste em relação a sua extremidade é dado por:

I = I G + m d 2 = 1 12 m l 2 + m l 2 2 = m l 2 3

e ainda que temos as relação:

θ ˙   d θ ˙ = θ ¨ d θ = α d θ

Substituindo estes valores na equação da variação infinitesimal da energia cinética:

d T = 2 m l 2 3 α   d θ + M ( 0,45 θ ˙ ) ( 0,45 d θ ˙ )

d T = 2 2,7 0,45 2 3 α   d θ + 4,5 0,45 2 θ ˙ d θ ˙

d T = 0,3645 α   d θ + 0,9112 α   d θ

d T = 1,2757 α   d θ           ( 3 )

Bom, agora por conservação de energia temos que a soma das variações infinitesimais (1), (2) e (3) deve ser nula.

d E = 0 = d T + d V g + d V e

1,2757 α   d θ - 99   c o s θ 0,9 c o s θ 2 - 0,45 d θ - 31,78 s e n θ   d θ = 0    

Considerando que a variação de d θ é muito pequena, então o ângulo θ pode ser aproximado no seno e cosseno para o ângulo da posição inicial, isto é, θ = 60 ° .

Então:

1,2757 α   - 99   c o s 60 ° 0,9 c o s 30 ° - 0,45 - 31,78 s e n 60 ° = 0          

1,2757 α - 16,31 - 27,52 = 0        

α = 34 , 35   r a d / s 2

Resposta

α = 34 , 35   r a d / s 2

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