Enunciado

O mecanismo de “retorno rápido” consiste de uma manivela A B , o bloco deslizante B e o membro com ranhura C D . Se a manivela tem o movimento angular mostrado, determine o movimento angular do membro com ranhura nesse instante.

Passo 1

Como o mecanismo em questão possui uma conexão através do ponto B , é possível encontrar as informações de velocidade e aceleração neste ponto do bloco deslizante e, então, fazer a análise da parte C B do membro com ranhura para aproveitar a transmissão da velocidade e da aceleração de um ponto ao outro.

Então, a velocidade de B em relação a C será dada por:

v B = v C + Ω × r B / C + v B / C x y z

E a aceleração de B em relação a C é:

a B = a C + Ω ˙ × r B / C + Ω × Ω × r B / C + 2 Ω × v B / C x y z + a B / C x y z

Onde:

Ω velocidade angular do sistema de eixos x ,   y , z localizado no ponto de interesse em relação ao sistema de referência X ,   Y ,   Z de origem;

Ω ˙ aceleração angular do sistema de eixos x ,   y , z localizado no ponto de interesse em relação ao sistema de referência X ,   Y ,   Z de origem.

Passo 2

Fazendo o diagrama de corpo livre (DCL) da manivela A B será obtido:

O vetor posição de A até B , r B / A , que será:

r B / A = 0,1   m

Tal que a velocidade em B pode ser dada pela outra forma:

v B = ω A B r B / A = 3 0,1 = 0,3   m / s

E a aceleração possui as componentes tangencial e normal dadas por:

a B t = α A B r B / A = 9 0,1 = 0,9   m / s 2

a B n = ω A B 2 r B / A = 3 2 0,1 = 0,9   m / s 2

Passo 3

Sendo assim, tendo essas variáveis determinadas juntamente com os valores previamente fornecidos pelo exercício, se torna possível fazer o cálculo dos valores desejados no ponto C .

Fazendo o DCL do membro C D :

Portanto, aplicando a outra equação da velocidade em B , tem-se:

v B = v C + Ω × r B / C + v B / C x y z

O vetor r B / C representa o vetor distância de C até B , ou seja:

r B / C = 0,3 i   m

Também, o ponto C é o nosso centro instantâneo de velocidade nula nesse caso.

Em relação ao sistema de coordenadas, a velocidade do bloco pode ser decomposta em suas componentes, tal que:

v B = 0,3 cos ⁡ 60 ° i + 0,3 s e n 60 ° j = 0 + ω C D k × 0,3 i + v B / C i

Separando as variáveis por eixo do sistema de referência, obtém-se:

0,3 cos ⁡ 60 ° = v B / C = 0,15   m / s

E

0,3 s e n 60 ° = 0,3 ω C D

ω C D = 0,866   r a d / s

Passo 4

Agora, para determinar a aceleração deve-se aplicar a equação:

a B = a C + Ω ˙ × r B / C + Ω × Ω × r B / C + 2 Ω × v B / C x y z + a B / C x y z

Lembre-se que a aceleração em B divide-se nas suas componentes tangencial e normal.

Dessa forma, será obtido:

a B t + a B n = 0,9 cos ⁡ 60 ° i + 0,9 s e n 60 ° j + - 0 , 9 cos ⁡ 30 ° i + 0 , 9 s e n 30 ° j =

= 0 + α C D k × 0,3 i + 0,866 k × 0,866 k × 0,3 i + 2 0,866 k × 0,15 i + a B / C i

Resolvendo as somas e produtos vetoriais:

- 0,3294 i + 1,2294 j = 0,3 α C D j - 0,225 i + 0,2598 j + a B / C i

Novamente, separando as variáveis por eixo do sistema de referência, obtém-se:

- 0,3294 = - 0,225 + a B / C ∴ a B / C = - 0,1044   m / s ²

E:

1,2294 = 0,3 α C D + 0,2598

α C D = 3,232   r a d / s 2

Resposta

ω C D = 0,866   r a d / s

α C D = 3,232   r a d / s 2

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