Enunciado

O mecanismo de retorno rápido consiste da manivela C D e do braço com ranhura A B . Se a manivela gira com a velocidade angular e a aceleração angular no instante mostrado, determine a velocidade angular e a aceleração angular de A B nesse instante.

Passo 1

Como o mecanismo em questão possui uma conexão através do ponto D , é possível encontrar as informações de velocidade e aceleração neste ponto do bloco deslizante e, então, fazer a análise da parte A D do membro com ranhura para aproveitar a transmissão da velocidade e da aceleração de um ponto ao outro.

Então, a velocidade de D em relação a A será dada por:

v D = v A + Ω × r D / A + v D / A x y z

E a aceleração de D em relação a A é:

a D = a A + Ω ˙ × r D / A + Ω × Ω × r D / A + 2 Ω × v D / A x y z + a D / A x y z

Onde:

Ω velocidade angular do sistema de eixos x ,   y , z localizado no ponto de interesse em relação ao sistema de referência X ,   Y ,   Z de origem;

Ω ˙ aceleração angular do sistema de eixos x ,   y , z localizado no ponto de interesse em relação ao sistema de referência X ,   Y ,   Z de origem.

Passo 2

Fazendo o diagrama de corpo livre (DCL) do mecanismo todo:

O vetor posição de A até D , r D / A , que será:

r D / A = 1,2 i   m

E o vetor posição de C até D , r D , é dado por:

r D = 0,6 s e n 60 ° i - 0,6 cos ⁡ 60 ° j

Analisando a manivela C D , como ela está fixa em um ponto e gira em torno dele, a velocidade e a aceleração do ponto D poderão ser dados por:

v D = ω C D × r D = 6 k × 0,6 s e n 60 ° i - 0,6 cos ⁡ 60 ° j

v D = 1,8 i + 3,1177 j   m / s

E:

a D = α C D × r D - ω C D 2 r D

= 3 k × 0,6 s e n 60 ° i - 0,6 cos ⁡ 60 ° j - 6 2 0,6 s e n 60 ° i - 0,6 cos ⁡ 60 ° j

= 0,9 i + 1,5588 j - 18,7061 i + 10,8 j

Logo:

a D = - 17,8061 i + 12,3588 j   m / s 2

Passo 3

Sendo assim, tendo essas variáveis determinadas juntamente com os valores previamente fornecidos pelo exercício, se torna possível fazer o cálculo dos valores desejados do membro A B fazendo a análise relativa entre os pontos A e D .

Portanto, aplicando a outra equação da velocidade em D , tem-se:

v D = v A + Ω × r D / A + v D / A x y z

Tal que a velocidade angular da referência x ,   y ,   z medida a partir do referencial X ,   Y ,   Z será a soma das velocidades angulares agindo sobre o membro A B , ou seja:

Ω = ω A B k   r a d / s

E, similarmente, a aceleração angular da referência x ,   y ,   z medida a partir do referencial X ,   Y ,   Z será a soma das acelerações angulares agindo sobre o membro A B dado por:

Ω ˙ = α A B k   r a d / s 2

Sendo assim, voltando a equação da velocidade em D :

1,8 i + 3,1177 j = 0 + ω A B k × 1,2 i + v D / A i

1,8 i + 3,1177 j = 1,2 ω A B j + v D / A i

Separando as variáveis por eixo do sistema de referência, obtém-se:

v D / A = 1,8   m / s

E

3,1177 = 1,2 ω A B

ω A B = 2,598   r a d / s

Passo 4

Agora, para determinar a aceleração deve-se aplicar a equação:

a D = a A + Ω ˙ × r D / A + Ω × Ω × r D / A + 2 Ω × v D / A x y z + a D / A x y z

Dessa forma, será obtido:

a D = - 17,8061 i + 12,3588 j

= 0 + α A B k × 1,2 i + ω A B k × ω A B k × 1,2 i + 2 ω A B k × 1,8 i + a D / A i

= 1,2 α C D j + 2,598 k × 2,598 k × 1,2 i + 2 2,598 k × 1,8 i + a D / A i

Resolvendo as somas e produtos vetoriais:

- 17,8061 i + 12,3588 j = 1,2 α C D j + 8,099 i + 9,3528 j + a D / A i

Novamente, separando as variáveis por eixo do sistema de referência, obtém-se:

- 17,8061 = 8,099 + a D / A ∴ a D / A = - 25,905   m / s ²

E:

12,3588 = 1,2 α C D + 9,3528

α C D = 2,505   r a d / s 2

Resposta

ω A B = 2,598   r a d / s

α C D = 2,505   r a d / s 2

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