Enunciado

O mecanismo da roda de Genebra é utilizado em um sistema de empacotamento para converter o movimento angular constante em movimento angular intermitente. A roda em estrela A realiza um sexto de uma revolução para cada revolução compreta da roda motriz B e da guia C . Para fazer isto, o pino P , que está fixo a B , desliza para dentro de uma das ranhuras radiais de A , dessa maneira girando a roda A , e em seguida deixa a ranhura. Se B tem uma velocidade angular constante ω B = 4   r a d / s , determine ω A e α A da roda A no instante mostrado.

Passo 1

Como o mecanismo em questão possui uma ligação através do ponto P , é possível encontrar as informações de velocidade e aceleração neste ponto do pino transmissor e, então, fazer a análise de apenas uma das ranhuras da roda em estrela para verificar a transmissão da velocidade e da aceleração do pino para a roda.

Então, a velocidade de A em relação a P poderá ser determinada a partir de:

v P = v A + Ω × r A / P + v A / P x y z

E a aceleração é:

a P = a A + Ω ˙ × r P / A + Ω × Ω × r P / A + 2 Ω × v P / A x y z + a P / A x y z

Onde:

r P / A = 0,1 j   m distância de A até P

Ω velocidade angular do sistema de eixos x ,   y , z localizado no ponto de interesse em relação ao sistema de referência X ,   Y ,   Z de origem;

Ω ˙ aceleração angular do sistema de eixos x ,   y , z localizado no ponto de interesse em relação ao sistema de referência X ,   Y ,   Z de origem.

Passo 2

Fazendo o diagrama de corpo livre (DCL) de uma das partes da roda em estrela tem-se:

Para determinar a velocidade do pino P , é possível determina-la através da simples relação com a aceleração angular sob a qual ele é submetido, ou seja:

v P = ω B × r P

Isso se deve ao fato de o pino estar girando em torno de um ponto fixo, então o ponto B possui velocidade nula.

r P representa o raio do trajeto circular pelo qual o pino se move que é dado por:

r P = 0,1 t g 30 ° = 0,0577 i   m

Então a velocidade será de:

v P = - 4 k × 0,0577 i = - 0,231 j   m / s

Enquanto que a sua aceleração será dada por:

a P = a P t + a P n = 0 + ω B 2 r P

a P = - 4 2 0,0577 i = - 0,9232 i   m / s 2

Passo 3

Sendo assim, tendo essas variáveis determinadas juntamente com os valores previamente fornecidos pelo exercício, se torna possível fazer o cálculo dos valores desejados da roda em estrela A .

Portanto, aplicando a outra equação da velocidade em P , tem-se:

v P = v A + Ω × r P / A + v P / A x y z

Tal que a velocidade angular da referência x ,   y ,   z medida a partir do referencial X ,   Y ,   Z será a soma das velocidades angulares agindo sobre o membro A B , ou seja:

Ω = ω A k   r a d / s

Sendo assim, voltando a equação da velocidade:

- 0,231 j = 0 + ω A k × 0,1 j - v P / A j

- 0,231 j = - 0,1 ω A i - v P / A j

Separando as variáveis por eixo do sistema de referência, obtém-se:

v P / A = 0,231   m / s

E

ω A = 0

Passo 4

Agora, para determinar a aceleração deve-se aplicar a equação:

a P = a A + Ω ˙ × r P / A + Ω × Ω × r P / A + 2 Ω × v P / A x y z + a P / A x y z

Similarmente a velocidade angular, a aceleração angular da referência x ,   y ,   z medida a partir do referencial X ,   Y ,   Z será a soma das acelerações angulares agindo sobre o membro A B dado por:

Ω ˙ = α A k   r a d / s 2

Dessa forma, será obtido:

a D = - 0,9232 i = 0 + α A B k × 0,1 j + 0 + 0 - a P / A j

- 0,9232 i = - 0,1 α A B i - a P / A j

Novamente, separando as variáveis por eixo do sistema de referência, obtém-se:

a P / A = 0

E:

- 0,9232 = - 0,1 α A

α A = 9,232   r a d / s 2

Resposta

ω A = 0

α A = 9,232   r a d / s 2

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