Enunciado

Molas não lineares são classificadas como duras ou macias, dependendo da curvatura de sua curva força-deflexão (ver a figura). Se um instrumento delicado, com massa de 5 kg, é colocado sobre uma mola de comprimento l , de modo a que sua base esteja apenas tocando a mola indeformada, sendo então liberado do repouso inadvertidamente, determine a máxima deflexão x m da mola e a máxima força F m exercida pela mola, considerando (a) mola linear de constante k = 3   k N / m , (b) mola dura, não linear, para a qual F = 3 k N m ( x + 160 x 3 ) .

Passo 1

Vamos lá! Como estamos em um capítulo que trabalha com trabalho e energia, vamos utilizar esta metodologia para resolver esta questão!

Esta questão possui um ponto bastante interessante. A metodologia utilizada para resolver a letra a) é exatamente a mesma que a da letra b). A única diferença está na equação da força elástica F m .

Em ambos os casos queremos determinar a deflexão máxima x m e a força máxima F m . Mas, para isto, nosso primeiro passo é construir um diagrama de corpo livre. Então, fazendo o diagrama de corpo livre, temos,

Passo 2

Vamos começar resolvendo a letra a) inicialmente. Aqui, a força da mola é F m = k x = 3000 x .

Agora, vamos determinar os componentes de energia e trabalho para utilizarmos o princípio do trabalho e energia.

No ponto inicial, em que a mola não está deformada, o bloco tem velocidade zero (parte do repouso). Já no ponto final, ele terá velocidade v 2 . Portanto, as energias cinéticas são:

T 1 = m v 1 2 2 = 0

T 2 = m v 2 2 2

Agora, temos que calcular o trabalho das forças sobre o bloco. Ele será:

U 1 → 2 = ∫ 0 x W - F m d x = ∫ 0 x 49,05 - 3000 x d x

U 1 → 2 = 49,05 x - 1500 x 2

Passo 3

Agora já temos todas as informações necessárias para calcularmos a deflexão máxima e força máxima para a mola linear. A deflexão será quando a velocidade do ponto 2 for igual a zero. Assim, aplicando o princípio do trabalho e energia, temos:

T 1 + U 1 → 2 = T 2

0 + 49,05 x - 1500 x 2 = m v 2 2 2

49,05 x - 1500 x 2 = 0

Resolvendo a equação acima obtemos x m = 0,0327   m = 32,7   m m . E para a força da mola máxima, como a mola é linear, ela será no ponto de máxima deformação. Portanto,

F m = 3000 ⋅ 0,0327 = 98,1   N

E assim finalizamos a letra a).

Passo 4

Para a letra b), temos que realizar o mesmo procedimento, só que para a força F m dada no enunciado da questão. Portanto, calculando o trabalho das forças, temos:

U 1 → 2 = ∫ 0 x W - F m d x = ∫ 0 x 49,05 - 3000 x + 160 x 3 d x

U 1 → 2 = 49,05 x - 1500 x 2 - 120000 x 4

Continuando, a deflexão será quando a velocidade do ponto 2 for igual a zero. Assim, aplicando o princípio do trabalho e energia, temos:

T 1 + U 1 → 2 = T 2

0 + 49,05 x - 1500 x 2 - 120000 x 4 = m v 2 2 2

49,05 x - 1500 x 2 - 120000 x 4 = 0

Resolvendo a equação acima, obtemos que x m = 0,0304 m = 30,4   m m .

Passo 5

Já para o cálculo da força máxima, precisamos utilizar as ferramentas de cálculo. Assim, vamos derivar a função da força e igualar a zero para analisar o ponto crítico.

Caso este esteja entre 0 e 0,0304 m, então, a força será máxima neste ponto. Caso contrário, a força será máxima no ponto x m .

Desta forma, derivando a função força, temos:

d F d x = 3000 1 + 3 x 2 = 0

Resolvendo a equação acima obtemos x = 57,7   m m . Como este valor é maior que x m , então, a força máxima será neste valor (limite do intervalo). Assim, obtemos:

F m = 3000 x + 160 x 3

F m = 3000 0,0304 + 160 ⋅ 0,0304 3 = 104,7   N

E assim finalizamos a nossa questão.

Resposta

  1. x m = 0,0327   m

    F m = 98,1   N

x m = 0,0304 m

F m = 104,7   N

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