Enunciado

O momento M é aplicado a uma viga com a seção transversal mostrada na figura em um plano formando um ângulo β com a vertical. Determine a tensão no.

  1. Ponto A;
  2. Ponto B;
  3. Ponto D.

Passo 1

Para determinação de tensões em elementos que estão sujeitos a momentos fletores inclinados, ou ainda, momentos fletores oblíquos, ou momentos fletores assimétricos, temos a seguinte fórmula:

σ = - M z y I z z + M y z I y y

Em que:

M z = p a r c e l a   d o   m o m e n t o   n a   d i r e ç ã o   z

M y = p a r c e l a   d o   m o m e n t o   n a   d i r e ç ã o   y

y   e   z = c o o r d e n a d a s   n o   p o n t o   e m   q u e   s e   d e s e j a   s a b e r   a   t e n s ã o   e m   c a d a   d i r e ç ã o

I z z = m o m e n t o   d e   i n é r c i a   e m   t o r n o   d e   z

I y y = m o m e n t o   d e   i n é r c i a   e m   t o r n o   d e   y

E vamos ver que a melhor forma de determinarmos esses valores vai ser sendo só rotacionar as seções, o que torna tudo mais tranquilo.

Ou seja, precisamos seguir um passo a passo para podermos determinar as tensões, então vamos lá:

Primeiro temos que determinar os momentos em cada uma das direções, ou seja, vamos abrir os momentos fletores em cada uma das direções, e depois analisamos cada uma das direções, para isso, precisamos prestar a atenção que devemos abrir os momentos na direção da nossa seção, assim, podemos ver o seguinte:

Decompondo os momentos fletores teremos que:

Agora que já temos os momentos fletores em cada direção, podemos analisar cada uma delas separadamente.

Passo 2

Como podemos ver no caso anterior, a LN está no ponto de simetria, então precisamos determinar os momentos de inércia e as distancias em y e em z, olhando cada direção teremos que:

  • I z z
  • Podemos retirar isso da nossa tabela no fim do livro para o perfil W 310 x 38,7 .

    I z z = 84,9 × 10 6   m m 4

    Nessa seção temos que determinar as tensões no ponto A, B e D, e para isso precisamos do valor de y, sendo assim teremos que como a nossa seção tem uma altura de 310 m m , temos que:

    E com isso podemos determinar uma parte da tensão máxima, já que podemos usar a seguinte parte da equação.

    σ A = - M z y A I z z

    σ B = - M z y B I z z

    σ D = - M z y D I z z

    Com isso teremos que:

    M z = 15,45   k N m = 15450000   N m m

    I z z = 84,9 × 10 6   m m 4

    y A = 155   m m

    y B = 155   m m

    y D = - 155   m m

    σ A = - M z y A I z z = - 15450000 N m m   155 m m 84,9 × 10 6   m m 4 = - 28,21 N m m 2 = - 28,21   M P a

    σ B = - M z y B I z z = - 15450000 N m m   155 m m 84,9 × 10 6   m m 4 = - 28,21 N m m 2 = - 28,21   M P a

    σ D = - M z y D I z z = - 15450000 N m m   - 155 m m 84,9 × 10 6   m m 4 = 28,21 N m m 2 = 28,21   M P a

    Agora vamos ao cálculo na outra direção.

  • I y y

Olhando a seção y apenas com o momento nessa direção teremos que:

Podemos retirar isso da nossa tabela no fim do livro para o perfil W 310 x 38,7 .

I y y = 7,20 × 10 6   m m 4

Nessa seção temos que determinar as tensões no ponto A, B e D, e para isso precisamos do valor de Z, sendo assim teremos que:

E com isso podemos determinar uma parte da tensão máxima, já que podemos usar a seguinte parte da equação.

σ A = M y z A I y y

σ B = M y z B I y y

σ D = M y z D I y y

Com isso teremos que:

M y = 4,14   k N m = 4140000   N m m

I y y = 7,20 × 10 6   m m 4

Z A = 82,5   m m

Z B = - 82,5   m m

Z D = - 82,5   m m

σ A = M y z A I y y = 4140000   N m m   82,5 m m 7,20 × 10 6   m m 4 = 47,4 N m m 2 = 47,4   M P a

σ B = M y z B I y y = 4140000   N m m ( -   82,5 ) m m 7,20 × 10 6   m m 4 = - 47,4 N m m 2 = - 47,4   M P a

σ D = M y z D I y y = 4140000   N m m ( -   82,5 ) m m 7,20 × 10 6   m m 4 = - 47,4 N m m 2 = - 47,4   M P a

E com isso podemos determinar a tensão total nos pontos A, B e D juntando as duas parcelas:

Sendo assim teremos que para o item a):

σ A = - 28,21 + 47,4 = 19,2   M P a  

Sendo assim teremos que para o item b):

σ B = - 28,21 - 47,4 = - 75,6   M P a

Sendo assim teremos que para o item c):

σ D = 28,20 - 47,4 = - 19,2   M P a  

Resposta

  1. σ A = 19,2   M P a  
  2. σ B = - 75,6   M P a
  3. σ D = - 19,2   M P a
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Exercícios de Livros Relacionados

O momento M atua em um plano vertical e está aplicado a uma viga orientada como mostrado. Determinar: (b) a máxima tensão de tração na viga.
O momento M atua em um plano vertical e está aplicado a uma viga orientada como mostrado. Determinar: (b) a máxima tensão de tração na viga.
Para a viga indicada, determinar a tensão no ponto A , considerando que o plano no qual atua o momento M foi girado de 90 ° no sentido horário.
Para a viga indicada, determinar a tensão no ponto A , considerando que o plano no qual atua o momento M foi girado de 90° no sentido horário.
O momento M atua em um plano vertical e é aplicado a uma viga de seção transversal mostrada. Determinar a tensão no ponto A .