Enunciado

O momento M é aplicado a uma viga com a seção transversal mostrada na figura em um plano formando um ângulo β com a vertical. Determine a tensão no.

  1. Ponto A;
  2. Ponto B;
  3. Ponto D.

Passo 1

Para determinação de tensões em elementos que estão sujeitos a momentos fletores inclinados, ou ainda, momentos fletores oblíquos, ou momentos fletores assimétricos, temos a seguinte fórmula:

σ = - M z y I z z + M y z I y y

Em que:

M z = p a r c e l a   d o   m o m e n t o   n a   d i r e ç ã o   z

M y = p a r c e l a   d o   m o m e n t o   n a   d i r e ç ã o   y

y   e   z = c o o r d e n a d a s   n o   p o n t o   e m   q u e   s e   d e s e j a   s a b e r   a   t e n s ã o   e m   c a d a   d i r e ç ã o

I z z = m o m e n t o   d e   i n é r c i a   e m   t o r n o   d e   z

I y y = m o m e n t o   d e   i n é r c i a   e m   t o r n o   d e   y

E vamos ver que a melhor forma de determinarmos esses valores vai ser sendo só rotacionar as seções, o que torna tudo mais tranquilo.

Ou seja, precisamos seguir um passo a passo para podermos determinar as tensões, então vamos lá:

Primeiro temos que determinar os momentos em cada uma das direções, ou seja, vamos abrir os momentos fletores em cada uma das direções, e depois analisamos cada uma das direções, sendo assim teremos que:

Decompondo os momentos fletores teremos que:

Agora que já temos os momentos fletores em cada direção, podemos analisar cada uma delas separadamente.

Passo 2

Como podemos ver no caso anterior, a LN está na posição 4 r / 3 π , então precisamos determinar os momentos de inércia e as distancias em y e em z, olhando cada direção teremos que:

  • I z z
  • Olhando a seção Z apenas com o momento nessa direção teremos que:

    I z z = π r 4 8 - A d 2 = π r 4 8 - π r 2 2 4 r 3 π 2 = π 20 4 8 - π 20 2 2 4 × 20 3 π 2

    I z z = 17543   m m 4

    Nessa seção temos que determinar as tensões no ponto A, B e D, e para isso precisamos do valor de y, sendo assim teremos que:

    E com isso podemos determinar uma parte da tensão máxima, já que podemos usar a seguinte parte da equação.

    σ A = - M z y A I z z

    σ B = - M z y B I z z

    σ D = - M z y D I z z

    Com isso teremos que:

    M z = 86,6   N m = 86600   N m m

    I z z = 62832   m m 4

    y A = - 8,49   m m

    y B = 11,51 m m

    y D = - 8,49   m m

    σ A = - M z y A I z z = - 86600 N m m   - 8,49 m m 17543   m m 4 = 41,91 N m m 2 = 41,91   M P a

    σ B = - M z y B I z z = - 86600 N m m   11,51 m m 17543   m m 4 = - 56,82 N m m 2 = - 56,82   M P a

    σ D = - M z y D I z z = - 86600 N m m   - 8,49 m m 17543   m m 4 = 41,91 N m m 2 = 41,91   M P a

    Agora vamos ao cálculo na outra direção.

  • I y y

Olhando a seção y apenas com o momento nessa direção teremos que:

Agora temos que tomar um cuidado, o momento de inércia é na direção y, certo? Ou seja, na nossa fórmula de momentos de inércia, o B SEMPRE é paralelo ao eixo analisado, nesse caso o y, e H SEMPRE é perpendicular ao eixo analisado, que é o eixo y, sendo assim teremos que:

I y y = π r 4 8 = π 20 4 8 = 62832   m m 4

Nessa seção temos que determinar as tensões no ponto A, B e D, e para isso precisamos do valor de Z, sendo assim teremos que:

E com isso podemos determinar uma parte da tensão máxima, já que podemos usar a seguinte parte da equação.

σ A = M y z A I y y

σ B = M y z B I y y

σ D = M y z D I y y

Com isso teremos que:

M y = 50   N m = 50000   N m m

I y y = 62832   m m 4

Z A = 20   m m

Z B = 0   m m

Z D = - 2 0   m m

σ A = M y z A I y y = 50000   N m m   2 0 m m 62832   m m 4 = 15,92 N m m 2 = 15,92   M P a

σ B = M y z B I y y = 50000   N m m   0 m m 62832   m m 4 = 0

σ D = M y z D I y y = 50000   N m m   ( - 20 ) m m 62832   m m 4 = - 15,92 N m m 2 = - 15,92 M P a

E com isso podemos determinar a tensão total nos pontos A, B e D juntando as duas parcelas:

Sendo assim teremos que para o item a):

σ A = 41,91 + 15,92 = 57,8   M P a  

Sendo assim teremos que para o item b):

σ B = - 56,82 + 0 = - 56,8   M P a

Sendo assim teremos que para o item c):

σ D = 41,91 - 15,92 = - 25,9   M P a  

Resposta

  1. σ A = 57,8   M P a  
  2. σ B = - 56,8   M P a
  3. σ D = - 25,9   M P a
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O momento M atua em um plano vertical e está aplicado a uma viga orientada como mostrado. Determinar: (a) o ângulo que o eixo neutro forma com o plano horizontal.
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O momento M atua em um plano vertical e está aplicado a uma viga orientada como mostrado. Determinar: (b) a máxima tensão de tração na viga.
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