Enunciado

O momento M atua em um plano vertical e é aplicado a uma viga orientada, conforme mostra a figura. Determine a tensão no ponto A.

Passo 1

Fala galerinha, agora vamos entrar em um novo tipo de questão, ainda vamos continuar com os mesmos conceitos que aprendemos até agora, mas com coordenadas diferentes, isso vai acontecer porque a nossa LN não vai ser mais centralizada na vertical ou na horizontal como estamos acostumados, agora ela vai ficar na diagonal, e isso é um novo conceito para nós, pois mudará as nossas equações, por isso, olhando a nossa seção, temos que a nossa LN pode girar do seguinte modo:

Perceba que em pontilhado eu coloquei a LN “original” que chutaríamos para a nossa seção, e em linha cheia está a nossa LN’ que é a que de fato atua na nossa seção.

Até aqui tudo bem certo? Porém, pense no seguinte, nos calculávamos tudo com relação a LN certo? Como calcular com relação a essa nova? É ai que vai entrar o que precisamos. Lembra do nosso velho amigo círculo de mohr? Que nos ajudava a achar tensões máximas? Ele agora vai nos ajudar a achar inercias máximas, e a nossa inércia máxima vai ser exatamente a que atua na nossa LN, então vamos lá, como montar esse circulo de mohr para inércias?

  • Passo 1 – Definido as coordenadas
  • As nossas coordenadas vão ser dadas por:

    P o n t o   m é d i o I z + I y 2   ,   0

    P o n t o   Y I y   , I z y

    P o n t o   Z I z   , I z y

    Assim teremos que:

    P o n t o   m é d i o 1,254   ; 0

    P o n t o   Y 1,894   ; 0,800

    P o n t o   Z 0,614   ; 0,800

    Lembrando que todos são multiplicados por 10 6 , mas pra facilitar o cálculo me preocupei apenas com os valores principais. Lembrando das nossas fórmulas do círculo de mohr, podemos determinar as nossas inércias pela seguinte equação:

    R = I z - I y 2 2 + I z y 2

    R = 0,614 - 1,894 2 2 + 0,800 2 = 1,0245

    E as inércias máximas e mínimas serão dadas por:

    I v = I z + I y 2 - R = 1,254 - 1,0245 = 0,2295

    I u = I z + I y 2 + R = 1,254 + 1,0245 = 2,2785

    E como temos que lembrar, precisamos multiplicar tudo por 10 6 .

    I v = 0,2295 × 10 6   m m 4

    I u = 2,2785 × 10 6   m m 4

    E o que são v   e   u ? São as novas coordenadas do nosso sistema, assim, temos que:

    Passo 2

    Agora que já temos as inércias, precisamos determinar o ângulo para podermos determinar as coordenadas, e sabe como podemos determinar isso? Lembra da nossa formulazinha do círculo de mohr? Que calculava ângulo? Isso mesmo, vamos usar ela mesmo, assim temos que:

    T g   2 θ m = 2 I y z I z - I y = 2 × 0,800 ( 0,614 - 1,894 ) = 1,25

    2 θ m = 51,24

    θ m = 25,67 °

    Agora que temos o ângulo, podemos analisar tanto o valor de momento quanto os correspondestes de y   e   z nas coordenadas u   e   v , assim, teremos que:

  • MOMENTOS FLETORES
  • M v = 1,2 C o s 25,67 ° = 1,0816   k N m = 1081600   N m

    M u = - 1,2 S e n 25,67 ° = - 0,5198   k N m = - 519800   N m

  • u A  
  • u A = 45 C o s 25,67 ° - 45 S e n 25,67 ° = 21,07   m m

  • v A  

v A = 45 S e n 25,67 ° + 45 C o s 25,67 ° = 60,05   m m

Passo 2

Agora só precisamos lembrar que a determinação da tensão é dada pela seguinte equação adaptada:

σ A = - M v u A I v + M u v a I u

Assim temos que:

σ A = - 1081600   N m   21,07 [ m m ] 0,2295 × 10 6   m m 4 + - 519800   N m   60,05   [ m m ] 2,2785 × 10 6   m m 4

σ A = - 113 N m m 2 = - 113   M P a

Resposta

σ A = - 113   M P a

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Um elemento de alumínio extrudado com a seção transversal mostrada é submetido ao momento atuante no plano vertical. Determine o maior valor permissível para o momento M 0 do conjugado se a tensão máx
A seção em forma de Z mostrada na figura está submetida a um momento M 0 atuando em um plano vertical. Determine o maior valor admissível do momento M 0 se a tensão máxima não deve ultrapassar 80 MPa.
Mostre que, se uma viga de seção retangular sólida é fletida por um momento aplicado no plano que contém a diagonal da seção transversal retangular, o eixo neutro repousará ao longo da outra diagonal.
(a) Mostre que a tensão no vértice A do elemento prismático mostrado na Fig. a será zero se a força vertical P for aplicada a um ponto localizado na linha. x b / 6 + z h / 6 = 1 (b) Mostre ainda que,
Uma viga de seção transversal assimétrica está submetida a um momento M 0 atuando no plano horizontal x z . Mostre que a tensão no ponto A, de coordenadas y e z , é σ A = - z I z - y I y z I y I z - I