Enunciado

O momento constante de 50   N ⋅ m deve ser aplicado ao eixo de manivela. Determine a força compressiva P exercida no pistão para que haja equilíbrio em função de θ . Represente graficamente os resultados de P (eixo vertical) versus θ (eixo horizontal) para 0 ° ≤ θ ≤ 90 ° .

Passo 1

E aí Pessoal, tudo bem? Vamos dar início a mais uma questão juntos!

Esta é uma questão que temos várias etapas para resolver antes de chegar na função P θ (e o seu gráfico).

Vamos começar analisando o nosso pistão. Esboçando o seu diagrama de corpo livre, temos:

Utilizando as equações de equilíbrio, obtemos:

P = F B C ⋅ cos ⁡ ϕ

Mas quem é ϕ ? E quem é F B C ? Ambos são função de θ . Portanto, temos que escrever cada um deles agora!

Passo 2

Das nossas duas incógnitas, vamos começar determinando ϕ .

Para isto, temos que analisar a geometria do mecanismo biela-manivela. Vejamos abaixo:

Pelas relações de triângulos, obtemos:

h = 0,2 cos ⁡ θ = 0,45 sen ⁡ ϕ

ϕ = arcsen ⁡ 0,444 cos ⁡ θ

E descobrimos a nossa primeira incógnita!

Passo 3

Agora temos que descobrir quem é F B C . Para isto, vamos ter que analisar o braço A B . Então, esboçando o diagrama de equilíbrio, temos:

Fazendo o somatório de momento em torno de A , vamos obter:

∑ M R A = 0

F B C ⋅ sen ⁡ ϕ ⋅ 0,2 ⋅ sen ⁡ θ + F B C ⋅ cos ⁡ ϕ ⋅ 0,2 ⋅ cos ⁡ θ - 50 = 0

F B C = 250 sen ⁡ ϕ sen ⁡ θ + cos ⁡ ϕ cos ⁡ θ

Substituindo a relação de ϕ que obtivemos no Passo 2, temos:

F B C = 250 sen ⁡ arcsen ⁡ 0,444 cos ⁡ θ sen ⁡ θ + cos ⁡ arcsen ⁡ 0,444 cos ⁡ θ cos ⁡ θ

F B C = 250 0,444 cos ⁡ θ sen ⁡ θ + cos ⁡ arcsen ⁡ 0,444 cos ⁡ θ cos ⁡ θ

Passo 4

Agora já temos todas as informações necessárias para escrevermos P θ . Substituindo as relações que obtivemos anteriormente, temos:

P = F B C ⋅ cos ⁡ ϕ

P = 250 cos ⁡ arcsen ⁡ 0,444 cos ⁡ θ 0,444 cos ⁡ θ sen ⁡ θ + cos ⁡ arcsen ⁡ 0,444 cos ⁡ θ cos ⁡ θ

Agora só nos resta esboçarmos a função. O seu gráfico é:

OBS: O eixo x está em radiano!

Resposta

P = 250 cos ⁡ arcsen ⁡ 0,444 cos ⁡ θ 0,444 cos ⁡ θ sen ⁡ θ + cos ⁡ arcsen ⁡ 0,444 cos ⁡ θ cos ⁡ θ

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