Enunciado

Na montagem mostrada, o membro B C é uma barra maciça de aço de 25,5   m m de diâmetro e todos os outros membros são feitos de aço de 12,7   m m . Usando-se E = 200   G P a , determinar a deflexão do ponto D , provocada pela carga de 30   k N .

Passo 1

Faaaala, meus chuchus! Prontos para uma questão de cálculo de deflexão através do método de energia? Pode não parecer, mas essa questão é uma questão de treliça. A única diferença em relação a questões de treliça tradicionais é que, dessa vez, os membros terão áreas de seção transversal A diferentes por conta de seus diâmetros diferentes.

O enunciado mostra uma figura com 5 membros da treliça ( A B , A C , B C , B D e C D ) e quer que a gente calcule a deflexão y D do ponto D produzida pela força P que é aplicada em D .

Como temos que usar o método da energia, vamos calcular y D a partir da equação que calcula a quantidade de energia U que é absorvida pela treliça, quando ela se deforma.

U = P y D 2       ⟹       y D = 2 U P

U é a energia total absorvida pela treliça. Logo, U é a soma das energias absorvidas por cada treliça. Isso é mostrado pela equação abaixo.

U = U A B + U A C + U B C + U B D + U C D

Para calcular cada uma dessas energia, vamos precisar calcular as forças aplicadas a cada um dos membros da treliça! A figura abaixo mostra as forças que são aplicadas a cada membro mais a força P e a força de reação R A y do ponto A .

Para encontrar as energias de cada membro da treliça, usaremos a equação 10.14 que calcula a energia absorvida U n por uma barra de comprimento L n e área de seção transversal A n , quando ela sofre a ação de uma força axial F n .

U n = F n 2 L n 2 A n E

Agora podemos começar os cálculos no próximo passo.

Passo 2

Para encontrar as forças F A B , F A C , F B C , F B D e F C D , precisamos calcular a reação R A y da restrição do ponto A .

Para fazer esses cálculos, vamos usar o diagrama de corpo livre da treliça inteira abaixo.

Vamos fazer o equilíbrio de forças na treliça inteira. Esse equilíbrio diz que a soma de todas as forças em y vale zero. Como a força P está apontando pra baixo, ela ganhará um sinal de menos na equação.

R A y - P = 0       ⟹       R A y - 3 0 = 0       ⟹       R A y = 30   k N

Pronto! Achamos a força de reação! Agora somos capazes de achar as forças F A B , F A C , F B C , F B D e F C D aplicadas nos membros da treliça.

Passo 3

Para facilitar nossa vida na hora de achar essas forças, podemos observar que as forças e a treliça são simétricas. Vamos observar a imagem abaixo para ver os planos de simetria representados em vermelho.

Por conta dessa simetria, as seguintes forças são iguais.

F A B = F B D = F C D = F A C

Agora, podemos achar F A B , F B D , F C D e F A C , fazendo o equilíbrio de forças no ponto A .

Antes, temos que lembrar que, no equilíbrio de forças em y , as forças que apontam pra baixo devem ganhar um sinal de menos na frente.

O equilíbrio de forças em y resulta em:

R A y - F A B sen ⁡ θ - F A C sen ⁡ θ = 0   ⟹   30 - 2 F A B sen ⁡ θ = 0   ⟹   F A B = 1 5 s e n θ

Logo:

F A C = F B D = F C D = F A B = 15 s e n θ

Agora podemos achar a força F B C restante, fazendo o equilíbrio das forças em x do ponto B .

Temos que lembrar antes, que no equilíbrio em x , todas as forças apontando pra esquerda ganham um sinal de menos na frente.

- F B C - F B D cos ⁡ θ - F A B cos ⁡ θ = 0

- F B C - 15 s e n θ cos ⁡ θ - 15 s e n θ cos ⁡ θ = 0

F B C = - 15 cos ⁡ θ sen ⁡ θ

Para achar o sen ⁡ θ e o cos ⁡ θ e conseguir calcular o valor das forças, recorremos ao desenho abaixo. Nele, vemos que L A B , L A C , L B D e L C D foram calculados usando o teorema de Pitágoras com os comprimentos de 300   m m e 230   m m como catetos.

sen ⁡ θ = 230 378,02       ⟹     sen ⁡ θ = 0 , 6084

cos ⁡ θ = 30 0 378,02       ⟹     cos ⁡ θ = 0 , 7936

Substituindo nas equações das forças:

F A C = F B D = F C D = F A B = 15 s e n θ       ⟹       F A C = F B D = F C D = F A B = 24 , 65   k N

F B C = - 15 cos ⁡ θ sen ⁡ θ       ⟹       F B C = - 15 × 0 , 7936 0 , 6084       ⟹       F B C = - 19 , 56   k N

Agora podemos achar as energias de cada membro da treliça.

Passo 4

Para achar as energias U A B , U A C , U B C , U B D e U C D dos membros, usamos as forças que calculamos na equação de energia U n do passo 1.

As áreas A das seções transversais de cada membro da treliça está presente na fórmula das energias. Logo precisamos achar esses valores a partir dos diâmetros informados.

A A B = π d A B 2 4       ⟹       A A B = π × 12,7 2 4       ⟹       A A B = 126,68   m m 2

Como os diâmetros d A B , d A C , d B D e d C D são iguais:

A C D = A A C = A B D = A A B = 126,68   m m 2

Já para B C temos:

A B C = π d B C 2 4       ⟹       A B C = π × 25,5 2 4       ⟹       A B C = 510,71   m m 2

Antes, precisamos converter A de m m 2 pra m 2 multiplicando por 10 - 6 , converter E de G P a pra P a multiplicando por 10 9 , converter P de k N pra N multiplicando por 10 3 e converter L de m m pra m multiplicandp por 10 - 3 .

U A B = F A B 2 L A B 2 A A B E       ⟹       U A B = 24 , 65 × 10 3 2 378,02 × 10 - 3 2 × 126,68 × 10 - 6 × 200 × 10 9       ⟹       U A B = 4 , 53   J

U A C = F A C 2 L A C 2 A A C E       ⟹       U A C = 24 , 65 × 10 3 2 378,02 × 10 - 3 2 × 126,68 × 10 - 6 × 200 × 10 9       ⟹       U A C = 4 , 53   J

U B C = F B C 2 L B C 2 A B C E       ⟹       U B C = - 19 , 56 × 10 3 2 600 × 10 - 3 2 × 510,71 × 10 - 6 × 200 × 10 9       ⟹       U B C = 1 , 12   J

U B D = F B D 2 L B D 2 A B D E       ⟹       U B D = 24 , 65 × 10 3 2 378,02 × 10 - 3 2 × 126,68 × 10 - 6 × 200 × 10 9       ⟹       U B D = 4 , 53   J

U C D = F C D 2 L C D 2 A C D E       ⟹       U C D = 24 , 65 × 10 3 2 378,02 × 10 - 3 2 × 126,68 × 10 - 6 × 200 × 10 9       ⟹       U C D = 4 , 53   J

Com esse valores, podemos calcular U e y D no próximo passo.

Passo 5

Somando todas as energias de cada membro da treliça, achamos U .

U = U A B + U A C + U B C + U B D + U C D

U = 4 , 53 + 4 , 53 + 1 , 12 + 4 , 53 + 4 , 53

U = 19 , 24   J

y D é encontrado a partir da fórmula que deduzimos no passo 1.

y D = 2 U P       ⟹       y D = 2 × 19 , 24 3 0 × 10 3       ⟹       y D = 0 , 00128   m

Boooooa, meus queridos! Chegamos na resposta da questão!

Resposta

y D = 0 , 00128   m

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