Enunciado

Cada uma das barras de treliça mostrada é feita de aço e tem a seção transversal com as áreas indicadas. Usando E = 200   G P a , determinar a energia de deformação da treliça para o carregamento mostrado.

Passo 1

Como vocês estão, pessoal? Estão conseguindo progredir nos estudos? Então vamos dar mais um passo nessa tarefa de entender energia de deformação.

O enunciado dessa questão pede que a gente calcule a energia de deformação combinada U das duas treliças B C e C D . Essa energia de deformação combinada U é a soma das energias U B C e U C D .

U = U B C + U C D

Essas duas treliças reagem a duas forças que estão sendo aplicadas (uma força horizontal de 90   k N que chamaremos de H e outra força vertical de 110   k N que chamaremos de V ). A treliça B C reage com uma força F B C e a treliça C D reage com uma força F C D . É importante notar que as forças de reação das treliças F C D e F B C estão sempre na direção das treliças!

Para descobrir quanto vale U B C e U C D precisamos calcular quanto valem as forças F B C e F C D . Essas duas forças são calculadas, aplicando as equações de equilíbrio de forças nos eixos x e y no ponto C . Tendo essas forças, calculamos U C D e U B C a partir das equações de energia abaixo.

U C D = F C D 2 L C D 2 A C D E

U B C = F B C 2 L B C 2 A B C E

E é o módulo de elasticidade das treliças que vale 200   G P a . O módulo de elasticidade das duas treliças são iguais, porque o enunciado diz que elas são feitas do mesmo material. A B C e A C D são as áreas das seções transversais das treliças.

Agora que a gente sabe de tudo isso, podemos partir para o início da resolução!

Passo 2

Nesse passo, nós vamos calcular o seno e o cosseno do ângulo α presente no problema.

Esses seno e cosseno de α vão ser muito importantes para usar as equações de equilíbrio em x e y .

Veja a figura abaixo para entender que ângulo é esse.

Antes de tudo, precisamos calcular o comprimento L B C através do teorema de Pitágoras!

L B C 2 = l 2 + L C D 2       ⟹       L B C 2 = 1,2 2 + 2,25 2       ⟹     L B C = 2,55   m

Para calcular o seno do ângulo α , temos dividir o lado l = 1,2   m oposto ao ângulo pela hipotenusa L B C .

sen ⁡ α = l   L B C       ⟹       sen ⁡ α = 1,2 2,55       ⟹     sen ⁡ α = 0,4706

Para calcular o cosseno do ângulo α , temos dividir o lado L C D = 2,25   m adjacente ao ângulo pela hipotenusa L B C .

cos ⁡ α = L C D L B C       ⟹       cos ⁡ α = 2,25 2,55       ⟹     cos ⁡ α = 0,8824

Conhecendo o seno e o cosseno de α podemos calcular as forças através das equações de equilíbrio em x e y .

Passo 3

Vamos começar o cálculo das forças fazendo o equilíbrio de forças na vertical.

∑ F y = 0

F y são as projeções verticais (em y ) das forças!

Começar pelo equilíbrio em y . Tanto faz por qual equilíbrio começamos. Poderíamos começar com o equilíbrio das forças na horizontal.

Para fazer o equilíbrio vertical, vamos ver quanto vale a projeção de F B C em y .

As forças que estão pra baixo na figura vão ganhar um sinal de menos e as que estão pra cima, ganham um sinal de mais na equação de equilíbrio em y .

Antes de usar a equação, temos que lembrar que a força V de 110   k N vale 110000   N .

∑ F y = 0

- V - F B C × sen ⁡ α = 0

- 110000 - F B C × 0,4706 = 0

F B C = - 233744   N

Passo 4

Nesse passo, vamos fazer o equilíbrio de forças na horizontal (em x ) através da equação abaixo.

∑ F x = 0

onde F x são as projeções das forças na horizontal.

Na equação de equilíbrio em x , todas as forças que estão para a esquerda ganham um sinal de menos na frente e todas as forças que estão para a direita ganham um sinal de mais na frente.

Antes de usar a equação, temos que lembrar que a força H de 90   k N vale 90000   N .

∑ F x = 0

+ F B C × cos ⁡ α + F C D + H = 0

- 233744 × 0,8824 + F C D + 90000 = 0

F C D = 116256   N

Agora temos as duas forças que precisamos para calcular U B C , U C D e U .

No próximo passo faremos essa conta.

Passo 5

Nesse passo calcularemos U B C , U C D e U .

Vamos começar calculando U B C .

U B C = F B C 2 L B C 2 A B C E

Antes de usar essa fórmula, temos que lembrar que a área A B C de 2000   m m 2 vale 2000 × 10 - 6   m 2 e que o módulo de elasticidade E de 200   G P a vale 200 × 10 9   P a .

U B C = - 233744 2 × 2,55 2 × 2000 × 10 - 6 × 200 × 10 9

U B C = 174   J

Antes de usar a fórmula de U C D , temos que lembrar que a área A C D de 2500   m m 2 vale 2500 × 10 - 6   m 2 .

U C D = F C D 2 L C D 2 A C D E

U C D = 116256 2 × 2,25 2 × 2500 × 10 - 6 × 200 × 10 9

U C D = 30   J

Somando essas duas energias, somos capazes de encontrar U .

U = U B C + U C D

U = 174 + 30

U = 204   J

Conseguiiimos! Achamos o U ! Parabéns pra gente!!!

Resposta

U = 204   J

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