Enunciado

O movimento horizontal do êmbolo e do eixo é dificultado pela resistência ao movimento do disco através do banho de óleo. Se a velocidade do êmbolo é v 0 na posição A onde x = 0 e t = 0 , e se a desaceleração é proporcional a v de modo que a = - k v , derive expressões para a velocidade v e coordenada de posição x em termos do tempo t . Expresse também v em termos de x .

Passo 1

Vamos começar procurando uma expressão para v em termos do tempo t . Pela definição de acelerção nós temos o seguinte:

a = d v d t

d v = a   d t

Substituindo com a fórmula para a acelerção dada no enunciado:

d v = - k v   d t

- 1 k d v v = d t

E agora podemos integrar para achar a função que estamos procurando!

t = - 1 k ∫ v 0 v d v v

- t = 1 k ln ⁡ v v 0

E agora isolando v :

v t = v 0 e - k t

Passo 2

Agora para encontrar uma fórmula para a posição x em função do tempo, é só lembrar do seguinte:

v = d x d t

d x = v   d t

E agora podemos fazer quase a mesma coisa que fizemos ali em cima:

d x = v 0 e - k t   d t

E integrando:

∫ x 0 x d x = ∫ 0 t v 0 e - k t   d t

Sabendo que x o = 0 :

x = ( - v 0 k e - k t + v 0 k e 0 )

x ( t ) = v 0 k ( 1 - e - k t )

Passo 3

Excelente, agora só falta encontrar uma expressão para v em termos de x . Ao invés de resolver outra equação diferencial, a gente pode simplesmente perceber o seguinte:

x ( t ) = v 0 k ( 1 - e - k t )

v t = v 0 e - k t

A segunda equação está contida na primeira!

x = v 0 k - v 0 e - k t k = v 0 k - v k = 1 k ( v 0 - v )

E então:

v = v 0 - k x

Pronto!

Resposta

A velocidade é v t = v 0 e - k t , a posição é x ( t ) = v 0 k ( 1 - e - k t )   e as duas estão relacionados por v = v 0 - k x .

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