Enunciado

Em muitas situações físicas, os vínculos impedem que as deformações especificas ocorram em uma dada direção, por exemplo, ε z = 0 , para o caso mostrado, onde o movimento longitudinal de qualquer ponto do prisma não é permitido. Assim, seções planas perpendiculares ao eixo longitudinal permanecem planas e separadas com afastamento constante. Mostre que, para esta situação, na qual é conhecida o estado plano de deformação, podemos expressar σ z ,   ε x   e   ε y   c o m o   s e g u e :

σ z = ϑ ( σ x + σ y )

ε x = 1 E [ 1 - ϑ 2 σ x - ϑ 1 + ϑ σ y ]

ε y = 1 E [ 1 - ϑ 2 σ y - ϑ 1 + ϑ σ x ]

Passo 1

Esse exercício é demonstrativo, logo, precisamos dar uma certa atenção para o nosso problema, logo, para fazermos isso, precisamos ter em mãos as nossas leis generalizadas de Hooke, e a partir delas resolver o nosso problema, com isso teremos que:

ε x = σ x E - ϑ σ y E - ϑ σ z E

ε y = σ y E - ϑ σ x E - ϑ σ z E

ε z = σ z E - ϑ σ x E - ϑ σ y E

E pelo nosso enunciado definimos que conhecemos o estado plano de deformações, ou seja, sabemos os valores de σ x e σ y e sabemos que o valor de ε z vale zero. Começando por ε z , teremos que:

ε z = σ z E - ϑ σ x E - ϑ σ y E

Como já sabemos que a deformação é zero, iremos substituir isso e definir o valor da tensão na direção Z.

0 = σ z E - ϑ σ x E - ϑ σ y E

σ z E = ϑ σ x E + ϑ σ y E

σ z = E ϑ ( σ x + σ y ) E

Substituindo teremos que:

σ z = ϑ ( σ x + σ y )

Agora vamos substituir nas nossas fórmulas principais para definirmos as deformações em função das tensões em x e y, sendo assim teremos que:

ε x = σ x E - ϑ σ y E - ϑ σ z E

ε x = σ x E - ϑ σ y E - ϑ . ϑ ( σ x + σ y ) E

ε x = σ x E - ϑ σ y E - ϑ 2 σ x E - ϑ 2 σ y E

ε x = σ x E - ϑ 2 σ x E - ϑ σ y E - ϑ 2 σ y E

ε x = σ x E ( 1 - ϑ 2 ) - ϑ σ y E ( 1 + ϑ )

ε x = 1 E σ x 1 - ϑ 2 - ϑ σ y 1 + ϑ

ε x = 1 E 1 - ϑ 2 σ x - ϑ 1 + ϑ σ y

E a deformação na direção y será feito da seguinte maneira:

ε y = σ y E - ϑ σ x E - ϑ σ z E

ε y = σ y E - ϑ σ x E - ϑ . ϑ ( σ x + σ y ) E

ε y = σ y E - ϑ σ x E - ϑ 2 σ x E - ϑ 2 σ y E

ε y = σ y E - ϑ 2 σ y E - ϑ σ x E - ϑ 2 σ x E

ε y = σ y E ( 1 - ϑ 2 ) - ϑ σ x E ( 1 + ϑ )

ε y = 1 E σ y 1 - ϑ 2 - ϑ σ x 1 + ϑ

ε y = 1 E 1 - ϑ 2 σ y - ϑ 1 + ϑ σ x

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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