Enunciado

Em muitas aplicações de carregamento, sabe-se que a tensão normal numa dada direção é nula, como por exemplo, σ z = 0 , para o caso da placa fina mostrada. Para este caso, conhecido como o estado plano de tensões, mostre que, uma vez conhecidas as deformações especificas ε x e ε y determinada experimentalmente, nos podemos expressar σ x ,   σ y   e   σ z   p o r :

σ x = E ε x +   ϑ ε y 1 - ϑ 2

σ y = E ε y +   ϑ ε x 1 - ϑ 2

ε z = - ϑ 1 - ϑ ( ε x +   ε y )

Passo 1

Esse exercício é demonstrativo, logo, precisamos dar uma certa atenção para o nosso problema, logo, para fazermos isso, precisamos ter em mãos as nossas leis generalizadas de Hooke, e a partir delas resolver o nosso problema, com isso teremos que:

ε x = σ x E - ϑ σ y E - ϑ σ z E

ε y = σ y E - ϑ σ x E - ϑ σ z E

ε z = σ z E - ϑ σ x E - ϑ σ y E

E pelo nosso enunciado definimos que conhecemos o estado plano de tensões, ou seja, sabemos os valores de ε x e ε y e sabemos que o valor de σ z vale zero. Substituindo em todas as equações teremos que:

ε x = σ x E - ϑ σ y E

ε y = σ y E - ϑ σ x E

ε z = - ϑ σ x E - ϑ σ y E

Isolando as tensões teremos que:

E ε x + ϑ σ y = σ x

E ε y + ϑ σ x = σ y

Definido as tensões pelas duas primeiras fórmulas, podemos substituir uma na outra para determinação das tensões, sendo assim teremos que:

E ε x + ϑ σ y = σ x

E ε x + ϑ ( E ε y + ϑ σ x ) = σ x

E ε x + ϑ E ε y + ϑ 2 σ x = σ x

E ε x + ϑ E ε y = σ x - ϑ 2 σ x

E ε x + ϑ E ε y = σ x ( 1 - ϑ 2 )

σ x = E ε x + ϑ ε y ( 1 - ϑ 2 )

E fazendo o mesmo para a tensão em y teremos que:

E ε y + ϑ σ x = σ y

E ε y + ϑ ( E ε x + ϑ σ y ) = σ y

E ε y + ϑ E ε x + ϑ 2 σ y = σ y

E ε y + ϑ E ε x = σ y - ϑ 2 σ y

E ε y + ϑ E ε x = σ y ( 1 - ϑ 2 )

σ y = E ε y + ϑ ε x ( 1 - ϑ 2 )

E para encontrarmos a deformação em Z, basta substituirmos as tensões em X e Y encontrados ali em cima na nossa última fórmula.

ε z = - ϑ E ε x + ϑ ε y ( 1 - ϑ 2 ) E - ϑ E ε y + ϑ ε x ( 1 - ϑ 2 ) E

ε z = - ( ϑ ε x + ϑ 2 ε y + ϑ ε y + ϑ 2 ε x ) ( 1 - ϑ 2 )

ε z = - ( ε x ϑ ( 1 + ϑ ) + ε y ϑ ( 1 + ϑ ) ) ( 1 - ϑ 2 )

ε z = - ( 1 + ϑ ) ( ε x ϑ + ε y ϑ ) ( 1 - ϑ ) ( 1 + ϑ )

ε z = - ϑ 1 - ϑ ( ε x + ε y )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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