Enunciado

Pede-se: (a) Para a viga com o carregamento mostrado e usando funções singulares, escrever as equações que definem as curvas do diagrama de força cortante e de momento fletor; (b) determinar o máximo momento fletor no ponto B.

Passo 1

Agora a gente vai resolver os problemas com a utilização de funções singulares, mas o que é isso? Olha a função abaixo:

V x = x 2 + x - a 2

Esse é uma função normal, correto? Mas imagina que eu quero fazer o seguinte: Ignorar o segundo termo quando x < a . Nós podemos fazer escrevendo:

V x = x 2 + { x - a } 2

Dessa forma vamos admitir duas hipóteses:

Quando x < a a função fica:

V x = x 2

Quando x ≥ a a função fica:

V x = x 2 + x - a 2

Legal né? É essa propriedade que vamos utilizar neste problema.

Passo 2

Vamos calcular as reações nos pontos A e B . Para isso vamos fazer o somatório das forças em y igual a zero (é um problema de estática, lembre-se):

Perceba que a barra está engastada em B , desta forma, teremos duas reações (uma horizontal e uma vertical) mais um momento puro chamado M B .

Como só existe uma força em x então nem precisamos fazer nenhuma conta R x = 0 .

Já para y temos:

∑ F y = 0

∑ F y = - 2 ⋅ P + R y = 0

R y = 2 P

Para o momento, sempre aplicado em A conforme pede o livro.

∑ M A = 0

∑ M A = 2 P ⋅ L 3 - M B = 0

M B = 2 3 ⋅ P L

Passo 3

Agora o importante é achar a função singular que define o carregamento, nesse caso será:

w x = 0

Perceba que não existe carregamento distribuído.

“Ah e as forças e o momento puro?” Serão contabilizados nos passos seguintes =D

Passo 4

Agora a gente vai integrar essa função em x de modo a achar o vetor cortante V :

V x = - ∫ w x ⋅ d x

V x = - ∫ 0 ⋅ d x

V x = C

Aqui é importante notar que a constante C é igual à força de reação. Mas a única força de reação está no final da barra, então não vai ser contabilizada. Assim a constante é igual apenas as duas forças P

C = 2 P ⋅ x - L 3 0

V x = 2 P ⋅ x - L 3 0

O que faz sentido né? Antes do ponto x = L / 3 a força cortante é nula e após é igual a 2 P .

Passo 5

Para achar o momento fletor basta que a gente integre novamente =D

M x = ∫ V x ⋅ d x

M x = ∫ 2 P ⋅ x - L 3 0 ⋅ d x

M x = 2 P ⋅ x - L 3 1 + C

A constante C é igual a qualquer momento puro, mas como só existe no final da barra não faz sentido colocar. Olha só porque:

C = M B ⋅ x - L 0

Esse valor só vai ser diferente de zero quando x = L , ou seja, num único ponto! Para nós isso não vai fazer diferença. Então:

M x = 2 P ⋅ x - L 3 1

Passo 6

Para achar o momento fletor em B basta substituir na equação:

M x = L = 2 P ⋅ L - L 3 1

M f l e t o r   e m   B = 4 3 P L

Resposta

a)

V x = 2 P ⋅ x - L 3 0

M x = 2 P ⋅ x - L 3 1

b)

M f l e t o r   e m   B = 4 3 P L

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