Enunciado

Pede-se: (a) Para a viga com o carregamento mostrado e usando funções singulares, escrever as equações que definem as curvas do diagrama de força cortante e de momento fletor; (b) determinar a localização e a intensidade o máximo momento fletor na viga e a máxima tensão normal devido à flexão.

Passo 1

Agora a gente vai resolver os problemas com a utilização de funções singulares, mas o que é isso? Olha a função abaixo:

V x = x 2 + x - a 2

Esse é uma função normal, correto? Mas imagina que eu quero fazer o seguinte: Ignorar o segundo termo quando x < a . Nós podemos fazer escrevendo:

V x = x 2 + { x - a } 2

Dessa forma vamos admitir duas hipóteses:

Quando x < a a função fica:

V x = x 2

Quando x ≥ a a função fica:

V x = x 2 + x - a 2

Legal né? É essa propriedade que vamos utilizar neste problema.

Passo 2

Vamos calcular as reações nos pontos A e B . Para isso vamos fazer o somatório das forças em y igual a zero (é um problema de estática, lembre-se). Vamos representar A x e A y as componentes das reações em A e B y a componente da reação em B.

Como só existe uma força em x então nem precisamos fazer nenhuma conta A x = 0 .

Já para y temos:

∑ F y = 0

Agora a gente tem que ver que terão dois carregamentos distribuídos, uma retangular e outra triangular. Agora a gente precisa trocar esses carregamentos por forças concentradas pontuais F c o n c . Vamos começar pela retangular que é mais fácil:

F c o n c = 2,6 × 1,8 = 4,68   k N

Tranquilinho né? Só multiplicar a carga pela distância.

Agora para fazer a triangular a gente vai fazer a mesma coisa mas pegando a média entre 0 e 2,6 . Porque o carregamento é triangular, ou seja, linear =D

F c o n c ' = ( 0 + 2,6 ) 2 ⋅ 1,8 = 2,34   k N

Agora podemos substituir na equação:

∑ F y = A y - 4,68 - 2,34 + B y = 0

A y + B y = 7,02   k N

Agora vamos calcular o momento no ponto A:

∑ M A = 0

Lembrando que a força pontual equivalente a um carregamento é sempre aplicada no baricentro da sua figura. No caso do retângulo na metade da sua distância e no caso do triângulo 1/3 da base.

Dessa forma os momentos referentes a cada carregamento distribuído são:

M r e t a n g u l a r = F c o n c × 1,8 + 1,8 2

M r e t a n g u l a r = 4,68 × 1,8 + 1,8 2 = 12,636   k N . m

Para o triangular:

M t r i a n g u l a r = F ' c o n c × 2 3 × 1,8

M t r i a n g u l a r = 2,34 × 2 3 × 1,8 = 2,808   k N . m

Substituindo no momento total aplicado em A:

∑ M A = 12,636 + 2,808 - B y × 3,6 = 0

B y = 4,29   k N

Logo substituindo na equação anterior:

A y = 7,02 - 4,29 = 2,73   k N

Passo 3

Agora o importante é achar a função singular que define o carregamento. Vamos relembrar que os carregamentos:

w x t r i a n g u l a r = w 0 L x

w x r e t a n g u l a r = w 0

Logo:

w x = 2,6 1,8 x + 2,6 × x - 1,8 0

Nossa equação mostra que o carregamento começar triangular e depois do ponto x = 1,8 aparece um novo carregamento uniforme (retangular). Mas existe um probleminha...

A gente precisa desconsiderar o carregamento triangular depois de x = 1,8 . Então vamos adicionar um termo para zera-lo, que é um novo carregamento triangular; mas esse começa com 2,6   k N . m e termina com 5,2   k N . m :

Dessa forma a gente precisa adicionar um carregamento para anular somente a parte amarela que será da forma:

w x = - 5,2 1,8 x - 1,8 1

Logo o carregamento total do nosso problema é:

w x = 2,6 1,8 x + 2,6 × x - 1,8 0 - 5,2 1,8 x - 1,8 1

Passo 4

Agora a gente vai integrar essa função em x de modo a achar o vetor cortante V :

V x = - ∫ w x     d x

V x = - ∫ 2,6 1,8 x + 2,6 × x - 1,8 0 - 5,2 1,8 x - 1,8 1     d x

V x = - 2,6 3,6 x 2 - 2,6 × x - 1,8 1 + 5,2 3,6 x - 1,8 2 + C

Agora a gente tem que achar a constante C , que vai ser igual às forças pontuais aplicadas. No caso temos apenas a reação em A.

C = 2,73

V x = - 2,6 3,6 x 2 - 2,6 × x - 1,8 1 + 5,2 3,6 x - 1,8 2 + 2,73

Passo 5

Para achar o momento fletor basta que a gente integre novamente =D

M x = ∫ V x d x

M x = ∫ - 2,6 3,6 x 2 - 2,6 × x - 1,8 1 + 5,2 3,6 x - 1,8 2 + 2,73   d x

M x = - 2,6 1,2 x 3 - 1,3 × x - 1,8 2 + 5,2 1,2 x - 1,8 3 + 2,73 x + C

A constante C é igual a qualquer momento puro que não existe em nenhum ponto logo:

C = 0

M x = - 2,6 1,2 x 3 - 1,3 × x - 1,8 2 + 5,2 1,2 x - 1,8 3 + 2,73 x

Resposta

a)

V x = - 2,6 3,6 x 2 - 2,6 × x - 1,8 1 + 5,2 3,6 x - 1,8 2 + 2,73

M x = - 2,6 1,2 x 3 - 1,3 × x - 1,8 2 + 5,2 1,2 x - 1,8 3 + 2,73 x

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Para o estado plano de tensões mostrado, determinar a máxima tensão de τ x y para que a máxima tensão de cisalhamento seja de: (a) 6 0M P a ; (b) 78M P a .