Enunciado

Pede-se: (a) Para a viga com o carregamento mostrado e usando funções singulares,escrever as equações que definem as curvas do diagrama de força cortante e de momento fletor; (b) determinar o máximo momento fletor da viga.

Passo 1

Agora a gente vai resolver os problemas com a utilização de funções singulares, mas o que é isso? Olha a função abaixo:

V x = x 2 + x - a 2

Esse é uma função normal, correto? Mas imagina que eu quero fazer o seguinte: Ignorar o segundo termo quando x < a . Nós podemos fazer escrevendo:

V x = x 2 + { x - a } 2

Dessa forma vamos admitir duas hipóteses:

Quando x < a a função fica:

V x = x 2

Quando x ≥ a a função fica:

V x = x 2 + x - a 2

Legal né? É essa propriedade que vamos utilizar neste problema.

Passo 2

Vamos calcular as reações nos pontos A e B . Para isso vamos fazer o somatório das forças em y igual a zero (é um problema de estática, lembre-se):

∑ F y = 0

Lembrando que temos cargas distribuídas, assim temos de multiplicar a sua intensidade pela distância.

A y - w × a - w × a + B y = 0

A y + B y = 2 a w

Como existe uma simetria no problema então a gente pode perceber que A y = B y , desta forma:

A y = B y = a w

Passo 3

Agora o importante é achar a função singular que define o carregamento. Mas a gente não pode simplesmente colocar um carregamento distribuído que comece em 0 e termine em a , temos que sempre ir até o final da viga. Como iremos fazer então?

A gente vai ter que colocar dois carregamentos que juntos deem o carregamento que queremos, irá ficar mais ou menos assim:

Repare que de x = 0 até x = a existe apenas o carregamento w , de x = a até x = 2 a os carregamentos se anulam e quando x > 2 a então temos um carregamento líquido de w ( 2 w - w ) . Desta forma podemos escrever o carregamento como:

w x = w - w x - a 0 + w x - 3 a 0

Passo 4

Agora a gente vai integrar essa função em x de modo a achar o vetor cortante V :

V x = - ∫ w x ⋅ d x

Presta atenção que o sinal negativo é da própria equação viu!

V x = - ∫ w - w x - a 0 + w x - 3 a 0 ⋅ d x

V x = - w x + w x - a 1 - w x - 3 a 1 + C

Aqui é importante notar que a constante C é igual à força de reação e as forças pontuais (que nessa caso não existem). Logo:

C = A y = a w

V x = - w x + w x - a 1 - w x - 3 a 1 + a w

Reorganizando

V x = a w - w x + w x - a 1 - w x - 3 a 1

Passo 5

Para achar o momento basta que a gente integre novamente =D

M x = ∫ V x ⋅ d x

M x = ∫ a w - w x + w x - a 1 - w x - 3 a 1 ⋅ d x

M x = a w x - w x 2 2 + w 2 x - a 2 - w 2 x - 3 a 2 + C

Como não existe momento puro aplicado então C = 0

M x = a w x - w x 2 2 + w 2 x - a 2 - w 2 x - 3 a 2

Passo 6

Para achar o ponto onde o momento é máximo a gente precisa zera a força cortante. Dessa forma:

V x = 0

V x = a w - w x + w x - a 1 - w x - 3 a 1

Pessoal, como o problema é simétrico a gente já pode tentar jogar o ponto médio x = 2 a e ver se vai dar certo!

Como x < 3 a então a equação fica da forma:

V x = a w - w x + w ( x - a )

Substituindo

V x = a w - w x + w ( 2 a - a )

V x = a w - w 2 a + w a

V x = 0

Viu como deu certo? Agora é só substituir o ponto x = 2 a na equação do momento fletor:

M x = a w x - w x 2 2 + w 2 x - a 2 - w 2 x - 3 a 2

Como x < 3 a então a equação fica da forma:

M x = a w x - w x 2 2 + w 2 x - a 2

M x = a w ( 2 a ) - w ( 2 a ) 2 2 + w 2 2 a - a 2

M x = 2 a 2 w - 2 a 2 w + w a 2 2

M m á x = a 2 w 2

Resposta

a)

V x = a w - w x + w x - a 1 - w x - 3 a 1

M x = a w x - w x 2 2 + w 2 x - a 2 - w 2 x - 3 a 2

b)

M m á x = a 2 w 2

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