Enunciado

Um pedestal com uma articulação Cardan sustenta uma carga útil no ônibus espacial e a posiciona quando as portas do compartimento de carga são abertas em órbita. A carga útil é modelada como um bloco retangular homogêneo com uma massa de 6000   k g . O torque no eixo O - O da articulação Cardan é de 30   N ∙ m fornecido por um motor de corrente contínua sem escovas. Com o ônibus espacial se deslocando em uma órbita “sem peso”, determine o tempo t necessário para mover a carga de sua posição de alojamento em θ = 0 para sua posição de instalação em θ = 90 ° , se o torque é aplicado durante os primeiros 45 ° do curso e então invertido nos 45 ° restantes para fazer a carga parar ( θ ˙ = 0 )

Passo 1

Para poupar esforços, vamos lembrar de uma propriedade importante: o tempo que uma aceleração leva para aumentar a velocidade de zero até um certo valor é igual ao tempo que ela levaria para reduzir a velocidade desse mesmo valor até o zero.

Isso quer dizer que só precisamos calcular o tempo t que a aceleração angular α leva para mover o corpo por um ângulo θ = 45 ° a partir do repouso, porque em seguida o tempo de parada será o mesmo t :

θ = α t 2 2

t = 2 θ α

E o tempo total T será:

T = 2 t = 2 2 θ α

Passo 2

Só falta encontrar a aceleração angular α , que pode ser calculada usando a seguinte equação:

M = I α

Como já temos o momento M , só falta calcular o momento de inércia da carga, que foi modelada como um bloco retangular homogênio de 2,5   m × 1,5   m × 1,5   m , com uma massa de 6000   k g .

Em relação ao centro de massa do bloco, o momento de inércia é (consulte uma tabela):

I c m = 1 12 m 1,5 2 + 2,5 2

I c m = 4250   k g   m 2

E podemos usar o teorema dos eixos paralelos para calcular o momento de inércia quando tomamos o eixo O - O como referência:

I O = I c m + m d 2

Sendo que d é a distância entre os dois eixos, que pode ser encontrada só olhando o desenho:

d = 2,5 2 + 0,8 = 2,05

Então:

I O = 4250 + 6000 2,05 2

I O = 29   465   k g   m 2

Passo 3

Agora é só substituir na equação que encontramos antes:

M = I α

30 = 29465 α

α = 30 29465

E o tempo será:

T = 2 2 π 4 30 29465 = 78,6   s

Onde convertemos 45 ° = π / 4   r a d .

Resposta

O tempo necessário é de 78,6   s .

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