Enunciado

Ao perfurar um poço a velocidade angular constante, a extremidade inferior do tubo de perfuração encontra uma resistência à torção T A . Além disso, o solo ao longo das laterais do tubo cria um torque de atrito distribuído ao longo do comprimento do tubo, que varia uniformemente de zero na superfície B a t A em A . Determine o torque mínimo T B que deve ser transmitido pela unidade de acionamento para se vencerem os torques de resistência e calcule a tensão de cisalhamento máxima no tubo. O tubo tem raio externo r o e raio interno r i .

Passo 1

Um tubo girando a velocidade constante perfura o solo. O tubo está completamente enterrado.

A extremidade inferior sofre uma resistência de torque T A . Além disso, o solo também resiste ao giro, causando um torque distribuído linearmente. Essa distribuição vale zero em B (onde o solo começa) e t A na extremidade inferior do tubo ( A ) .

Essa é uma daquelas questões sem números. Vamos anotar tudo que sabemos.

Características do tubo:

  • Raio interno: r i .
  • Raio externo: r o .
  • Momento polar de inércia: J = π ( r o 4 - r i 4 ) / 2 .
  • Comprimento do tubo: L

Até aqui é pra considerarmos todas essas letras como conhecidas!

O forçamento que faz o tubo girar é T B . Nós queremos descobrir uma expressão para esse cara! A sacada é lembrar que a velocidade de giro está constante, então o tubo está em equilíbrio.

Depois, a questão pede para acharmos a tensão de cisalhamento máxima τ M no tubo.

Passo 2

Temos três torques atuando no tubo. O torque de forçamento T B , o torque de resistência T A e um torque de resistência T s o l o causado por toda distribuição linear de torque. Para termos equilíbrio, precisamos que:

∑ M = 0       →         T B = T A + T s o l o

O T A a gente conhece.

O T s o l o a gente pode achar. Sabemos que o torque distribuído vale zero em B e termina como t A a uma distância L de B . A variação é linear! Imagine um triângulo de base L e altura t A . A contribuição total ( T s o l o ) é a área desse triângulo:

T s o l o = t A L 2

Show, já fechamos a primeira parte da questão:

T B = T A + t A L 2

Passo 3

A questão quer a tensão máxima. Fórmula da torção:

τ = T   r J

O J é constante. Para termos tensão máxima τ M , usamos r = r o e aí precisamos do maior torque interno que acontece no tubo.

Bem, pensa o seguinte: na pontinha em B do tubo, ele é forçado com T B e não tem nenhum outro torque ajudando a resistir! Então a seção em B tem que resistir o T B sozinho. Esse vai ser o maior torque interno.

τ M = T B   r o J

τ M = 2 T A + t A L 2 π ( r o 4 - r i 4 ) r o

Reescrevendo só um pouquinho:

τ M = 2 T A + t A L π ( r o 4 - r i 4 ) r o

Resposta

Torque mínimo de acionamento:

T B = T A + t A L 2

Tensão máxima de cisalhamento:

τ M = 2 T A + t A L π ( r o 4 - r i 4 ) r o

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