Enunciado

Uma placa fina uniforme tendo uma massa de 0,4 kg gira com uma velocidade angular constante ω em torno de sua diagonal AB. Se a pessoa segurando o canto da placa em B retira seu dedo, a placa vai cair sobre seu lado AC. Determine o momento de binário necessário M que, se aplicado à placa, evitaria que isso acontecesse.

Passo 1

Começaremos o exercício calculando os momentos de inércia com relação aos eixos x, y e z:

I x = 1 12 0,4 0,3 2 → I x = 3 10 - 3   k g . m 2

I y = 1 12 0,4 0,15 2 → I y = 0,75 10 - 3   k g . m 2

I z = 1 12 0,4 0,3 2 + 0,15 2 → I z = 3 , 75 10 - 3   k g . m 2

Agora iremos calcular o valor do ângulo θ ilustrado no diagrama a seguir para poder decompor as velocidades angulares:

θ = t g - 1 75 150 → θ = 26,57 °

Passo 2

Agora iremos calcular as componentes das velocidades angulares e suas derivadas:

ω x = ω s e n 26,57 °

ω ˙ x = 0

ω y = ω c o s 26,57 °

ω ˙ y = 0

ω z = ω ˙ z = 0

Passo 3

Agora iremos aplicar o conjunto de equações 21-25 apresentado no livro:

∑ M x = I x ω ˙ x - I y - I z ω y ω z

M x = 0

∑ M y = I y ω ˙ y - I z - I x ω z ω x

M y = 0

∑ M z = I z ω ˙ z - I x - I y ω x ω y

M z = 0 - 3 10 - 3 - 0,75 10 - 3 ω 2 s e n 26,57 ° c o s 26,57 °

M z = - 0,9 10 - 3 ω 2   N . m

M z = - 0,9 ω 2

O momento de binário age perpendicular a superfície da placa.

Resposta

M z = - 0,9 ω 2

Ver Outros Exercícios desse livro