Enunciado

Uma placa hexagonal sofre a ação da força P e do binário mostrados na figura. Determine a intensidade e a direção da menor força P para a qual o sistema pode ser substituído por uma força única em E .

Passo 1

Para este exercício, antes mesmo de dar início aos cálculos, alguns pontos podem ser analisados. Por exemplo, para que a força P seja mínima em relação ao ponto de interesse E , ela deve estar perpendicular ao vetor posição que liga o ponto E ao ponto B (o ponto de interesse e o ponto de atuação da força, respectivamente). Logo, sabemos que o ângulo α pode ser determinado observando o esquema:

Como cada ângulo interno ao hexágono forma 120 ° , o vetor posição r → B / E divide-o em dois ângulos de 60 ° , tal que para que P esteja perpendicular a esse vetor, α deve ser 30 ° .

Passo 2

Agora, para substituir o sistema por apenas uma força equivalente no ponto E deve ser eliminado o efeito do binário presente. Isso pode ser feito através do somatório de momentos visto que o momento gerado pela força P deve ter a mesma magnitude do momento binário.

Logo, aplicando o equilíbrio de momentos em relação a E tem-se:

∑ M E = M b i n - M P = 0

Lembrando que o momento binário é dado por:

M b i n = r × F = r F s e n θ = F d

onde d é a distância perpendicular entre as linhas de ação das forças que geram o binário, então:

M b i n - M P = 300 d - P r → B / E = 0

O valor de d pode ser encontrado por:

Assim,

d = 0,2 + 2 0,2 s e n 30 ° = 0,4   m

Passo 3

Com esses valores encontrados, se torna possível determinar o valor de P . Portanto:

300 d - P r → B / E = 300 ( 0,4 ) - P ( 0,4 ) = 0

P 0,4 = 300 0,4

∴ P = 300   N

Resposta

P = 300   N

α = 30 °

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