Enunciado

88. A plataforma tem massa de 2   M g e centro de massa localizado em G . Se ela é erguida utilizando-se os três cabos, determine a força em cada um dos cabos. Encontre cada força utilizando uma única equação de momento para o equilíbrio.

Passo 1

Para fazer o que o enunciado pede teremos que usar certos macetes.

Primeiro vamos definir um eixo y ' que passa por A e B , com isso, se utilizarmos a equação de equilíbrio referente ao momento em relação a esse eixo na forma escalar, as forças dos cabos A C e B C não contribuem para o cálculo do momento, pois suas linhas de ação passam por esse eixo e assim encontramos a força F D E no cabo D E .

Para achar a força do cabo A C vamos utilizar a equação de equilíbrio do momento em relação a um eixo B D , calculando na forma vetorial que é mais fácil para essa situação, faremos isso pois as forças dos cabos B C e D E não contribuem para o cálculo do momento, pois suas linhas de ação passam por esse eixo e assim encontramos a força F A C no cabo A C .

E por último para achar a força do cabo B C vamos utilizar a equação de equilíbrio do momento em relação a um eixo A D , calculando na forma vetorial que é mais fácil para essa situação, faremos isso pois as forças dos cabos A C e D E não contribuem para o cálculo do momento, pois suas linhas de ação passam por esse eixo e assim encontramos a força F B C no cabo B C .

Pronto, dessa forma encontraremos cada força com uma equação diferente.

O cálculo do momento da força na forma vetorial é dado da seguinte maneira:

M 0 = u a → ⋅ ( r → × F → ) = u a x u a y u a z r x r y r z F x F y F z

Onde:

u a x ,   u a y   e   u a z representam as componentes do vetor unitário definido na direção do eixo de rotação

r x ,   r y   e   r z representam as coordenadas do vetor posição definido a partir de qualquer ponto O sobre o eixo de rotação até qualquer ponto na linha de aplicação da força.

F x ,   F y   e   F z são as componentes da força F aplicada.

Teremos que fazer essa conta para força peso da plataforma também.

Passo 2

Para saber as coordenadas do vetor posição de cada força e da força peso, basta olhar a figura e ver quanto você tem que andar para cada direção a parti do eixo de rotação para chegar ao ponto na linha de ação da força, logo:

r A → = { 0 i - 6 j + 0 k }

r B → = { 0 i + 6 j + 0 k }

r W A D → = { - 4 i + 3 j + 0 k }

r W B D → = { - 4 i - 3 j + 0 k }

Por que dois vetores posição para força peso? Tem dois pois para cada eixo de rotação teremos um vetor posição diferente para a força peso.

O vetor unitário que tem a mesma direção que o eixo de rotação, é dado por:

u → = r → r →

Para o eixo de rotação B D :

Onde r B D →   é o vetor que sai do ponto B até o ponto D . Assim:

r B D → = { - 6 i - 3 j + 0 k }

r B D → = - 6 2 + - 3 2 + 0 2

= 36 + 9 + 0

45 = 6,708

Logo:

u B D → = { - 6 i - 3 j + 0 k } 6,708

= { - 0,894 i - 0,447 j + 0 k }

Para o eixo de rotação A D :

Onde r A D →   é o vetor que sai do ponto A até o ponto D . Assim:

r A D → = { - 6 i + 3 j + 0 k }

r A D → = - 6 2 + 3 2 + 0 2

= 36 + 9 + 0

45 = 6,708

Logo:

u A D → = { - 6 i + 3 j + 0 k } 6,708

= { - 0,894 i + 0,447 j + 0 k }

Agora temos tudo que precisamos.

Passo 3

Vamos então primeiro calcular o momento em relação ao eixo y ' mencionado no passo 1 , então:

∑ M y ' = 0

F D E 6 - 2 9,8 4 = 0

⇒ 6 F D E - 78,4 = 0

⇒ F D E = 13,07   N

Passo 4

Agora vamos analisar o momento referente ao momento em relação ao eixo B D .

∑ M B D = 0

- 0,894 - 0,447 0 0 - 6 0 0 3 5 F A C 4 5 F A C + - 0,894 - 0,447 0 - 4 - 3 0 0 0 - 19,62 = 0

⇒ - 0,894 - 6 ⋅ 0,8 F A C - 0 + 0,447 0 - 0 + 0 0 - 0 - 0,894 3 ⋅ 19,62 - 0 +

+ 0,447 4 ⋅ 19,62 - 0 + 0 0 - 0 = 0

⇒ - 0,894 - 4,8 F A C - 0,894 58,86 + 0,447 78,48 = 0

⇒ 4,291 F A C - 52,62 + 35,08 = 0

⇒ 4,291 F A C = 17,54

⇒ F A C = 4,08   N

Passo 5

Agora vamos analisar o momento referente ao momento em relação ao eixo A D .

∑ M A D = 0

- 0,894 0,447 0 0 6 0 0 - 3 5 F B C 4 5 F B C + - 0,894 0,447 0 - 4 3 0 0 0 - 19,62 = 0

⇒ - 0,894 6 ⋅ 0,8 F B C - 0 - 0,447 0 - 0 + 0 0 - 0 - 0,894 - 19,62 ⋅ 3 - 0 +

- 0,447 4 ⋅ 19,62 - 0 + 0 0 - 0 = 0

⇒ - 0,894 4,8 F B C + 0,894 58,86 - 0,447 78,48 = 0

⇒ - 4,291 F B C + 52,62 - 35,08 = 0

⇒ 4,291 F B C = 17,54

⇒ F B C = 4,08   N

Resposta

F D E = 13,07   N

F A C = 4,08   N

F B C = 4,08   N

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