Enunciado

Uma polia e dois blocos estão conectados por cabos inextensíveis como mostra a figura. O bloco A tem uma aceleração constante de 300   m m / s 2 e uma velocidade inicial de 240   m m / s , ambas direcionadas para baixo. Determine ( a ) o número de revoluções executadas pela polia em 3   s , ( b ) a velocidade e posição do bloco B após 3   s , ( c ) a aceleração do ponto D na borda da polia em t = 0 .

Passo 1

Fala, galera. Beleza? Bora para mais um exercício de Dinâmica. Vamos dividir este exercício em três partes. Na primeira, temos que encontrar o número de revoluções executadas pela polia em 3   s .

Sabemos que os cabos são inextensíveis, logo, a velocidade inicial no ponto A é igual à velocidade inicial no ponto E , localizado na tangência da polia com a corda que prende o corpo A :

v E 0 = v A 0 = 240   m m / s

Assim como a velocidade, a aceleração nestes dois pontos também será igual:

a E 1 = a A = 300   m m / s 2

Com isso, a partir da distância dos pontos tangentes até o centro da polia, podemos escrever:

v E 0 = r ω 0 240 = 120 ω 0 ω 0 = 2   r a d / s

E também:

a E 1 = r α 300 = 120 α α = 2,5   r a d / s 2

Assim, vamos utilizar as equações do movimento uniformemente acelerado para t = 3 s a fim de obtermos o número de revoluções. Sabemos que a velocidade angular é dada por:

ω = ω 0 + α t

Substituindo:

ω = 2 + 2,5 3 ω = 9   r a d / s

E para a variação angular, temos:

θ = ω 0 t + 1 2 α t 2 θ = 2 3 + 1 2 2,5 3 2 θ = 17,25   r a d

Agora que sabemos a distância angular percorrida, vamos utilizar este valor para determinar o número de revoluções. Como 1 revolução representa uma distância percorrida de 2 π , podemos encontrar o número de revoluções assim:

θ = 17,25 1 2 π n r e v o l u ç õ e s = 2,75

Passo 2

Na próxima parte do exercício, temos que determinar a velocidade e a posição do bloco B após 3   s . Bora lá!

Podemos utilizar a relação entre o raio da polia para o carregamento B   e o momento linear. Com isso, podemos determinar a velocidade do bloco. Fica assim:

v B = r ω v B = 0,180 9,5 v B = 1,710   m / s

E para a variação da posição do bloco, vamos relacionar o mesmo raio com o momento angular. Logo:

∆ y B = r θ ∆ y B = 0,180 17,25 ∆ y B = 3,11   m

Opa, galera. Agora que encontramos a velocidade a o deslocamento, só falta mais um passo.

Passo 3

Na última parte do nosso problema, temos que determinar a aceleração do ponto D na borda da polia em t = 0 . Para isso, vamos novamente relacionar o raio com a aceleração angular, porém, queremos α inicial. Logo:

a D t = r α = 180 2,5 a D t = 450   m m / s 2

E também:

a D n = r ω 0 2 = 180 2 a D n = 720   m m / s 2

Opa, temos dois vetores aceleração e a soma deles, vai ser a aceleração em D . Assim:

a D = 849   m m / s 2

É isso, galerinha. Bora praticar mais!

Resposta

n r e v o l u ç õ e s = 2,75

v B = 1,710   m / s

∆ y B = 3,11   m

a D = 849   m m / s 2

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