Enunciado

A posição de uma partícula é definida por r = t 3 i → + 2 t 2 j → + 8 t k →   m , onde t é dado em segundos. Determine a intensidade da velocidade e da aceleração e o raio de curvatura da trajetória quando t = 2   s .

Passo 1

A posição da partícula é uma função vetorial r ( t ) . Para obtermos a função vetorial da velocidade e da aceleração, basta derivar em sequência. Além disto, é importante destacar que cada vetor é derivado separadamente! Sendo assim, basta fazermos:

v t = d r d t

a t = d v d t = d 2 r d t 2

Como estamos trabalhando com uma função vetorial, para obtermos a intensidade, basta tomarmos a sua norma!!! Já para obtermos o raio de curvatura, precisamos determinar qual é a intensidade da componente normal da aceleração. Se projetarmos o vetor aceleração na direção do vetor velocidade, conseguiremos a aceleração tangente. Depois, basta utilizarmos as equações da cinemática que estamos bastante acostumados!

Passo 2

Vamos obter a função da velocidade. Portanto,

v t = d r d t

v t = 3 t 2 i → + 6 t j → + 8 k →

Quando t = 2   s , teremos:

v 2 = 12 i → + 12 j → + 8 k →

E a intensidade da velocidade vai ser dado pela norma do vetor. Sendo assim,

v ( 2 ) = 12 2 + 12 2 + 8 2  

v = 18,8   m / s  

Passo 3

Fazendo o mesmo procedimento para a aceleração, temos:

a t = d v d t

a t = 6 t i → + 6 j → + 0 k →

Quando t = 2   s , temos:

a 2 = 12 i → + 6 j → + 0 k →

E a intensidade da aceleração é dada por:

a 2 = 12 2 + 6 2 + 0 2

a 2 = 13,4   m / s 2

Passo 4

Vamos projetar o vetor aceleração na direção do vetor velocidade, a fim de obtermos a componente tangencial da aceleração. Lembrando lá da Geometria Analítica, temos:

a t = P r o j v a = a ⋅ v v ⋅ v ⋅ v

a t = 12 i → + 6 j → + 0 k → ⋅ ( 12 i → + 12 j → + 8 k → ) 12 i → + 12 j → + 8 k → ⋅ 12 i → + 12 j → + 8 k → ⋅ 12 i → + 12 j → + 8 k →

a t = 12 2 + 6 ⋅ 12 12 2 + 12 2 + 8 2 ⋅ 12 i → + 12 j → + 8 k →

a t = 216 352 ⋅ 12 i → + 12 j → + 8 k →

Calculando a intensidade da aceleração tangencial, temos:

a t = 216 352 ⋅ a 2 = 216 352 ⋅ 18,8

a t = 11,54   m / s 2

Agora, para calcularmos a componente normal, basta relembrarmos que:

a = a t 2 + a n 2

Portanto,

a n 2 = a 2 - a t 2

a n 2 = 13,4 2 - 11,54 2

a n = 6,81   m / s 2

Calculando o raio de curvatura,

ρ = v 2 a n = 18,8 2 6,81 = 51,9   m

Resposta

v = 18,8   m / s

a = 13,4   m / s 2

ρ = 51,9   m

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