Enunciado

O projeto de uma viga requer a soldagem de quatro placas horizontais à uma placa vertical de 12,7x127 mm como mostrado. Para uma força cortante vertical V determinar a dimensão h para que o fluxo de cisalhamento, através da superfície da solda, seja máximo.

Passo 1

A figura é perfeitamente simétrica! Então o centroide dela é bem no meio da figura.

Isso facilita tudo, vamos calcular o momento de inércia da figura:

I = t ⋅ 2 ⋅ H 3 12 + 4 ⋅ b ⋅ t 3 12 + b ⋅ t ⋅ h 2

I = 2 3 t ⋅ H 3 + 1 3 b ⋅ t 3 + 4 ⋅ b ⋅ t ⋅ h 2

I = 2246393 + 5842 ⋅ h 2

Passo 2

O nosso objetivo é calcular o momento o fluxo de cisalhamento na solda. Pra isso, a gente vai estudar uma das placas soldadas (destacada na figura)

O momento estático da região destacada é:

Q = A ⋅ h

Q = b ⋅ t ⋅ h

Q = 1460,5 ⋅ h

Passo 3

Agora vamos calcular o fluxo de cisalhamento:

q = V Q I

q = V ⋅ 1460,5 ⋅ h 2246393 + 5842 ⋅ h 2

A gente quer saber o ponto em que q = m á x i m o . Então, vamos derivar a equação e igualar a zero d q d h = 0

d q d h = d d h V ⋅ 1460,5 ⋅ h 2246393 + 5842 ⋅ h 2 = 0

V ⋅ 1460,5 ⋅ 2246393 + 5842 ⋅ h 2 - ( V ⋅ 1460,5 ⋅ h ) ( 11684 ⋅ h ) 2246393 + 5842 ⋅ h 2 2 = 0

A expressão pode parecer feia, mas dá pra ajeitar. Pra começar, vamos jogar o denominador pro outro lado:

V ⋅ 1460,5 ⋅ 2246393 + 5842 ⋅ h 2 - ( V ⋅ 1460,5 ⋅ h ) ( 11684 ⋅ h ) = 0

Colocando V ⋅ 1460,5 em evidência e jogando pro outro lado:

V ⋅ 1460,5 2246393 + 5842 ⋅ h 2 - h ⋅ 11684 ⋅ h = 0

2246393 + 5842 ⋅ h 2 - 11684 ⋅ h 2 = 0

Logo:

5842 h 2 = 2246393

Assim, o ponto de máximo será:

h = 19,61   m m

Resposta

h = 19,61   m m

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